Matematica classe 7: Che cos'è un numero razionale, e l'insieme ℚ
Matematica, classe 7 (Portogallo): Un numero razionale è un intero su un intero diverso da zero, positivo o negativo; ℚ contiene gli interi e le frazioni e i decimali che conosci, ora con il segno.
Un intero su un intero
Conosci già frazioni come 3/4 e interi come −2. Un numero razionale è ogni numero che si può scrivere come una frazione con numeratore intero e denominatore intero diverso da 0. Può essere positivo, come 3/4, o negativo, come −3/4, l'opposto di 3/4. Anche lo zero è razionale (0 = 0/1) e non è né positivo né negativo. Tutti i numeri razionali insieme formano l'insieme ℚ.
Un insieme che li contiene tutti
Con i soli numeri naturali non puoi dire «è sceso sotto zero»; con i soli interi non puoi dire «mezzo grado». I razionali risolvono entrambe le cose: misurano in parti e hanno un segno. E non sostituiscono ciò che sai, lo contengono: ogni numero naturale è intero e ogni intero è razionale, cioè ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Un intero n è razionale perché n = n/1, e un decimale come 0,6 è 6/10.
Trasformare numeri in frazioni
Mostra che −5, 0,6 e −1,25 sono razionali. Passo 1: −5 = −5/1, un intero su 1. Passo 2: 0,6 = 6/10 = 3/5, dividendo numeratore e denominatore per 2. Passo 3: −1,25 = −125/100 e, dividendo entrambi per 25, si ottiene −5/4. Passo 4: dove stanno? −5 è in ℤ e in ℚ; 0,6 e −5/4 sono in ℚ ma non in ℤ, perché stanno tra due interi consecutivi.
«Niente linea di frazione, quindi non è razionale»
Molti immaginano ℤ e ℚ come due scatole separate: «−3 è intero, quindi non può essere razionale», oppure «i razionali sono solo quelli con la linea di frazione o la virgola». È sbagliato: ℤ sta dentro ℚ. Conta non l'aspetto del numero, ma poterlo scrivere come un intero su un intero diverso da 0: −3 = −3/1 = −6/2. Chiediti: «posso scriverlo come frazione di interi?» Se sì, è razionale.
Dove si nascondono i razionali negativi
I razionali negativi compaiono ogni volta che qualcosa può scendere sotto un riferimento: una temperatura di −3,5 °C, un subacqueo a −7,5 m quando la superficie dell'acqua è lo 0, un estratto conto con saldo −12,50 €. Ovunque lo 0 è il riferimento e il segno dice da che parte ti trovi: −7,5 m e 7,5 m sono situazioni opposte. I numeri non sono interi perché le quantità reali raramente lo sono: mezzo grado, un quarto di metro.
Metti alla prova quello che hai imparato
Che cosa deve valere perché un numero sia razionale?
- a) Deve essere scritto con la virgola o con la linea di frazione.
- b) Si può scrivere come frazione con numeratore intero e denominatore intero diverso da 0.
- c) Deve essere positivo, perché una frazione conta parti di un intero.
- d) Deve essere compreso tra 0 e 1.
Risposta corretta: b) Si può scrivere come frazione con numeratore intero e denominatore intero diverso da 0. — Sì, è la definizione. Ammette anche i negativi: 3/4, −3/4, 5 = 5/1 e 0,6 = 6/10 sono tutti razionali.
Quale frazione, con numeratore e denominatore interi, è uguale al numero razionale −2,4?
- a) −12/5
- b) −2/4
- c) −5/12
- d) 12/5
Risposta corretta: a) −12/5 — Sì: −2,4 = −24/10 e, dividendo entrambi per 2, si ottiene −12/5. Verifica: 12 ÷ 5 = 2,4, con il segno meno.
Rita dice: «−3 non è un numero razionale, perché non ha la linea di frazione.» Qual è la risposta giusta?
- a) Ha ragione: un numero razionale ha sempre bisogno di una linea di frazione o di una virgola.
- b) Ha ragione: −3 è intero, e gli interi non sono razionali.
- c) Ha torto, ma solo gli interi positivi, come il 3, sono razionali.
- d) Ha torto: −3 = −3/1 è un intero su un intero diverso da 0, quindi è razionale (ℤ sta dentro ℚ).
Risposta corretta: d) Ha torto: −3 = −3/1 è un intero su un intero diverso da 0, quindi è razionale (ℤ sta dentro ℚ). — Sì. Conta poter scrivere il numero come un intero su un intero diverso da 0, e −3 = −3/1 = −6/2 si può.
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