Matemática 6.º ano: Rosáceas: simetrias de rotação e eixos
Matemática, 6.º ano (Portugal): Descobrir o ângulo mínimo de rotação de uma rosácea, ligá-lo ao número de eixos de simetria e construir uma rosácea por rotações sucessivas.
Uma figura que se repete à volta de um centro
Uma rosácea é uma figura formada por cópias iguais de um motivo, obtidas por rotações sucessivas em torno do mesmo centro. Se rodares a rosácea de modo a que coincida consigo própria, essa rotação é uma simetria de rotação. A mais pequena é o ângulo mínimo e é igual a 360° ÷ n, onde n é o número de cópias: com 10 cópias, 36°; com 12 cópias, 30°. Todas as outras rotações que a deixam igual são múltiplos dele.
O ângulo mínimo conta as cópias e diz como construir
O ângulo mínimo é a chave de uma rosácea por duas razões. Primeiro, lê-se nele o número de cópias: 360° ÷ 45° = 8. Segundo, diz como a rosácea foi construída: rodou-se o motivo sempre desse mesmo ângulo, cópia após cópia, até fechar os 360°. Por isso, ao analisar uma rosácea, medes o ângulo mínimo e já sabes explicar como foi feita.
Um caso: construir uma rosácea de 5 cópias
Motivo: um triângulo com um vértice no centro O. Queres 5 cópias iguais à volta de O. Passo 1: ângulo = 360° ÷ 5 = 72°. Passo 2: roda o triângulo 72° em torno de O (2.ª cópia), depois roda essa cópia mais 72° (3.ª), e assim sucessivamente: ficam a 72°, 144°, 216° e 288° do original. Passo 3: mais 72° dava 360°, uma volta inteira, e caía em cima do original, por isso paras. Rotações que a deixam igual: 72°, 144°, 216°, 288°.
Nem toda a rosácea tem eixos: o cata-vento
O erro razoável: pensar que o número de eixos de simetria é sempre igual ao número de cópias. Numa rosácea com simetria de reflexão, o número de eixos é n e o ângulo mínimo é 360° ÷ n: 6 eixos, 60°; 8 eixos, 45°. Mas um cata-vento de 3 pás curvas, todas dobradas para o mesmo lado, coincide consigo próprio a cada 120° e não tem nenhum eixo: o espelho dobraria as pás para o lado contrário. Primeiro vê se há eixos; só depois conta.
Onde se vê: janelas, logótipos e programas
As rosáceas aparecem em janelas circulares de edifícios antigos, em azulejos, em jantes e em logótipos: procura o centro e conta as cópias para achar o ângulo mínimo. Uma rosácea de 12 cópias tem ângulo mínimo de 30°. Num programa de blocos, como o Scratch, a receita é curta: repete 12 vezes «desenha o motivo, roda 30°». Uma sequência de passos que se repete é um algoritmo.
Testa o que aprendeste
Uma rosácea tem 72° de ângulo mínimo de rotação. O que é que isso te diz?
- a) Rodá-la 72° em torno do centro deixa-a igual, e nenhuma rotação menor o faz
- b) Tem 72 cópias do motivo
- c) Tem 72 eixos de simetria
- d) Qualquer rotação menor que 72° também a deixa igual
Resposta certa: a) Rodá-la 72° em torno do centro deixa-a igual, e nenhuma rotação menor o faz — Certo: é isso que significa «ângulo mínimo». Aqui 360° ÷ 72° = 5, por isso a rosácea tem 5 cópias do motivo.
Uma rosácea com simetria de reflexão tem 9 eixos de simetria. Qual é o seu ângulo mínimo de rotação?
- a) 9°
- b) 20°
- c) 45°
- d) 40°
Resposta certa: d) 40° — Certo: 360° ÷ 9 = 40°. Confirma: 9 rotações de 40° dão 360°, uma volta inteira.
Um cata-vento tem 3 pás curvas iguais, todas dobradas para o mesmo lado. Rodá-lo 120° em torno do centro dá a mesma imagem. Quantos eixos de simetria tem?
- a) 3, um por cada pá
- b) Nenhum, não tem eixo de simetria
- c) 6, um por cada pá e um entre pás
- d) 120
Resposta certa: b) Nenhum, não tem eixo de simetria — Certo: coincide consigo próprio ao rodar 120°, mas uma reflexão dobraria as pás para o outro lado, por isso não há eixo.
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