Mathematik Klasse 6: Rosetten: Drehsymmetrie und Achsen
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Den kleinsten Drehwinkel einer Rosette finden, ihn mit der Anzahl der Symmetrieachsen verbinden und eine Rosette durch aufeinanderfolgende Drehungen konstruieren.
Eine Figur, die sich um ein Zentrum wiederholt
Eine Rosette ist eine Figur aus gleichen Kopien eines Motivs, die durch aufeinanderfolgende Drehungen um dasselbe Zentrum entstehen. Drehst du die Rosette so, dass sie genau auf sich selbst fällt, ist diese Drehung eine Drehsymmetrie. Die kleinste davon ist der kleinste Drehwinkel, und er ist gleich 360° ÷ n, wobei n die Anzahl der Kopien ist: bei 10 Kopien 36°, bei 12 Kopien 30°. Alle anderen Drehungen, die sie unverändert lassen, sind Vielfache davon.
Der kleinste Winkel zählt die Kopien und verrät die Konstruktion
Der kleinste Drehwinkel ist aus zwei Gründen der Schlüssel zur Rosette. Erstens kannst du daran die Anzahl der Kopien ablesen: 360° ÷ 45° = 8. Zweitens verrät er, wie sie gebaut wurde: Das Motiv wurde immer um denselben Winkel gedreht, Kopie um Kopie, bis sich die 360° schlossen. Wenn du eine Rosette untersuchst, misst du also den kleinsten Drehwinkel und kannst schon erklären, wie sie entstanden ist.
Ein Beispiel: eine Rosette mit 5 Kopien bauen
Motiv: ein Dreieck mit einem Eckpunkt im Zentrum O. Du willst 5 gleiche Kopien um O. Schritt 1: Winkel = 360° ÷ 5 = 72°. Schritt 2: Drehe das Dreieck um 72° um O (2. Kopie), dann diese Kopie um weitere 72° (3.), und so weiter: Sie liegen bei 72°, 144°, 216° und 288° vom Original. Schritt 3: Weitere 72° ergäben 360°, eine ganze Drehung, und du landest wieder auf dem Original, also hörst du auf. Drehungen, die sie unverändert lassen: 72°, 144°, 216°, 288°.
Nicht jede Rosette hat Achsen: das Windrad
Der naheliegende Fehler: zu glauben, die Anzahl der Symmetrieachsen sei immer gleich der Anzahl der Kopien. Bei einer Rosette mit Spiegelsymmetrie ist die Zahl der Achsen n und der kleinste Drehwinkel 360° ÷ n: 6 Achsen, 60°; 8 Achsen, 45°. Ein Windrad mit 3 gekrümmten Flügeln, alle in dieselbe Richtung gebogen, fällt aber alle 120° auf sich selbst und hat keine einzige Achse: Ein Spiegel würde die Flügel in die Gegenrichtung biegen. Prüfe zuerst, ob es Achsen gibt; erst dann zähle.
Wo man es sieht: Fenster, Logos und Programme
Rosetten findest du in runden Fenstern alter Gebäude, auf Fliesen, Felgen und in Logos: Suche das Zentrum und zähle die Kopien, um den kleinsten Drehwinkel zu finden. Eine Rosette mit 12 Kopien hat einen kleinsten Drehwinkel von 30°. In einem Blockprogramm wie Scratch ist das Rezept kurz: 12-mal wiederholen „Motiv zeichnen, um 30° drehen“. Eine Abfolge von Schritten, die sich wiederholt, ist ein Algorithmus.
Teste, was du gelernt hast
Eine Rosette hat einen kleinsten Drehwinkel von 72°. Was sagt dir das?
- a) Eine Drehung um 72° um ihr Zentrum lässt sie gleich aussehen, und keine kleinere Drehung tut das
- b) Sie hat 72 Kopien des Motivs
- c) Sie hat 72 Symmetrieachsen
- d) Jede Drehung kleiner als 72° lässt sie ebenfalls gleich
Richtige Antwort: a) Eine Drehung um 72° um ihr Zentrum lässt sie gleich aussehen, und keine kleinere Drehung tut das — Richtig: Das bedeutet „kleinster Drehwinkel“. Hier ist 360° ÷ 72° = 5, also hat die Rosette 5 Kopien des Motivs.
Eine Rosette mit Spiegelsymmetrie hat 9 Symmetrieachsen. Wie groß ist ihr kleinster Drehwinkel?
- a) 9°
- b) 20°
- c) 45°
- d) 40°
Richtige Antwort: d) 40° — Richtig: 360° ÷ 9 = 40°. Kontrolle: 9 Drehungen um 40° ergeben 360°, eine ganze Drehung.
Ein Windrad hat 3 gleiche gekrümmte Flügel, alle in dieselbe Richtung gebogen. Eine Drehung um 120° um die Mitte ergibt dasselbe Bild. Wie viele Symmetrieachsen hat es?
- a) 3, eine pro Flügel
- b) Keine, es hat keine Symmetrieachse
- c) 6, eine durch jeden Flügel und eine zwischen den Flügeln
- d) 120
Richtige Antwort: b) Keine, es hat keine Symmetrieachse — Richtig: Es fällt bei 120° auf sich selbst, aber eine Spiegelung würde die Flügel andersherum biegen, also gibt es keine Achse.
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