Matemáticas 6.º curso: Rosetones: simetrías de rotación y ejes
Matemáticas, 6.º curso (Portugal): Descubrir el ángulo mínimo de rotación de un rosetón, relacionarlo con el número de ejes de simetría y construir un rosetón con rotaciones sucesivas.
Una figura que se repite alrededor de un centro
Un rosetón es una figura formada por copias iguales de un motivo, obtenidas por rotaciones sucesivas alrededor del mismo centro. Si giras el rosetón de modo que coincida consigo mismo, ese giro es una simetría de rotación. El más pequeño de esos giros es el ángulo mínimo, y es igual a 360° ÷ n, siendo n el número de copias: con 10 copias, 36°; con 12 copias, 30°. Todos los demás giros que lo dejan igual son múltiplos de él.
El ángulo mínimo cuenta las copias y dice cómo construir
El ángulo mínimo es la clave de un rosetón por dos razones. Primero, de él se lee el número de copias: 360° ÷ 45° = 8. Segundo, dice cómo se construyó: se giró el motivo siempre ese mismo ángulo, copia tras copia, hasta cerrar los 360°. Por eso, al analizar un rosetón, mides el ángulo mínimo y ya puedes explicar cómo se hizo.
Un caso: construir un rosetón de 5 copias
Motivo: un triángulo con un vértice en el centro O. Quieres 5 copias iguales alrededor de O. Paso 1: ángulo = 360° ÷ 5 = 72°. Paso 2: gira el triángulo 72° alrededor de O (2.ª copia), luego gira esa copia otros 72° (3.ª), y así sucesivamente: quedan a 72°, 144°, 216° y 288° del original. Paso 3: otros 72° serían 360°, una vuelta completa, y caerías sobre el original, así que paras. Giros que la dejan igual: 72°, 144°, 216°, 288°.
No todo rosetón tiene ejes: el molinillo
El error razonable: pensar que el número de ejes de simetría siempre es igual al número de copias. En un rosetón con simetría de reflexión, el número de ejes es n y el ángulo mínimo es 360° ÷ n: 6 ejes, 60°; 8 ejes, 45°. Pero un molinillo de 3 aspas curvas, todas dobladas hacia el mismo lado, coincide consigo mismo cada 120° y no tiene ningún eje: el espejo doblaría las aspas hacia el lado contrario. Primero mira si hay ejes; solo después cuenta.
Dónde se ve: ventanas, logotipos y programas
Los rosetones aparecen en ventanas circulares de edificios antiguos, en baldosas, en llantas y en logotipos: busca el centro y cuenta las copias para hallar el ángulo mínimo. Un rosetón de 12 copias tiene un ángulo mínimo de 30°. En un programa de bloques como Scratch, la receta es corta: repite 12 veces «dibuja el motivo, gira 30°». Una secuencia de pasos que se repite es un algoritmo.
Pon a prueba lo que has aprendido
Un rosetón tiene un ángulo mínimo de rotación de 72°. ¿Qué te dice eso?
- a) Girarlo 72° alrededor de su centro lo deja igual, y ningún giro menor lo hace
- b) Tiene 72 copias del motivo
- c) Tiene 72 ejes de simetría
- d) Cualquier giro menor de 72° también lo deja igual
Respuesta correcta: a) Girarlo 72° alrededor de su centro lo deja igual, y ningún giro menor lo hace — Correcto: eso significa «ángulo mínimo». Aquí 360° ÷ 72° = 5, así que el rosetón tiene 5 copias del motivo.
Un rosetón con simetría de reflexión tiene 9 ejes de simetría. ¿Cuál es su ángulo mínimo de rotación?
- a) 9°
- b) 20°
- c) 45°
- d) 40°
Respuesta correcta: d) 40° — Correcto: 360° ÷ 9 = 40°. Comprueba: 9 giros de 40° suman 360°, una vuelta entera.
Un molinillo tiene 3 aspas curvas iguales, todas dobladas hacia el mismo lado. Girarlo 120° alrededor del centro da la misma imagen. ¿Cuántos ejes de simetría tiene?
- a) 3, uno por cada aspa
- b) Ninguno, no tiene eje de simetría
- c) 6, uno por cada aspa y uno entre aspas
- d) 120
Respuesta correcta: b) Ninguno, no tiene eje de simetría — Correcto: coincide consigo mismo al girar 120°, pero una reflexión doblaría las aspas hacia el otro lado, así que no hay eje.
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