Matematica classe 6: Rosette: simmetrie di rotazione e assi
Matematica, classe 6 (Portogallo): Trovare l'angolo minimo di rotazione di una rosetta, metterlo in relazione con il numero di assi di simmetria e costruire una rosetta con rotazioni successive.
Una figura che si ripete attorno a un centro
Una rosetta è una figura formata da copie uguali di un motivo, ottenute con rotazioni successive attorno allo stesso centro. Se ruoti la rosetta in modo che coincida con se stessa, quella rotazione è una simmetria di rotazione. La più piccola è l'angolo minimo, uguale a 360° ÷ n, dove n è il numero di copie: con 10 copie, 36°; con 12 copie, 30°. Tutte le altre rotazioni che la lasciano uguale ne sono multipli.
L'angolo minimo conta le copie e dice come costruire
L'angolo minimo è la chiave di una rosetta per due ragioni. Prima di tutto, ci si legge il numero di copie: 360° ÷ 45° = 8. Poi dice come è stata costruita: il motivo è stato ruotato sempre dello stesso angolo, copia dopo copia, fino a chiudere i 360°. Perciò, analizzando una rosetta, misuri l'angolo minimo e sai già spiegare come è stata fatta.
Un caso: costruire una rosetta di 5 copie
Motivo: un triangolo con un vertice nel centro O. Vuoi 5 copie uguali attorno a O. Passo 1: angolo = 360° ÷ 5 = 72°. Passo 2: ruota il triangolo di 72° attorno a O (2ª copia), poi ruota quella copia di altri 72° (3ª), e così via: stanno a 72°, 144°, 216° e 288° dall'originale. Passo 3: altri 72° farebbero 360°, un giro completo, e cadresti sull'originale, quindi ti fermi. Rotazioni che la lasciano uguale: 72°, 144°, 216°, 288°.
Non ogni rosetta ha assi: la girandola
L'errore ragionevole: pensare che il numero di assi di simmetria sia sempre uguale al numero di copie. In una rosetta con simmetria di riflessione, il numero di assi è n e l'angolo minimo è 360° ÷ n: 6 assi, 60°; 8 assi, 45°. Ma una girandola con 3 pale curve, tutte piegate dallo stesso lato, coincide con se stessa ogni 120° e non ha nessun asse: lo specchio piegherebbe le pale dall'altra parte. Prima controlla se ci sono assi; solo dopo conta.
Dove si vede: finestre, loghi e programmi
Le rosette si vedono nelle finestre rotonde di vecchi edifici, sulle piastrelle, sui cerchioni e nei loghi: cerca il centro e conta le copie per trovare l'angolo minimo. Una rosetta di 12 copie ha un angolo minimo di 30°. In un programma a blocchi come Scratch la ricetta è breve: ripeti 12 volte «disegna il motivo, ruota di 30°». Una sequenza di passi che si ripete è un algoritmo.
Metti alla prova quello che hai imparato
Una rosetta ha un angolo minimo di rotazione di 72°. Che cosa ti dice?
- a) Ruotarla di 72° attorno al centro la lascia uguale, e nessuna rotazione più piccola ci riesce
- b) Ha 72 copie del motivo
- c) Ha 72 assi di simmetria
- d) Qualsiasi rotazione minore di 72° la lascia uguale
Risposta corretta: a) Ruotarla di 72° attorno al centro la lascia uguale, e nessuna rotazione più piccola ci riesce — Esatto: è questo il significato di «angolo minimo». Qui 360° ÷ 72° = 5, quindi la rosetta ha 5 copie del motivo.
Una rosetta con simmetria di riflessione ha 9 assi di simmetria. Qual è il suo angolo minimo di rotazione?
- a) 9°
- b) 20°
- c) 45°
- d) 40°
Risposta corretta: d) 40° — Esatto: 360° ÷ 9 = 40°. Controlla: 9 rotazioni di 40° fanno 360°, un giro intero.
Una girandola ha 3 pale curve uguali, tutte piegate dallo stesso lato. Ruotarla di 120° attorno al centro dà la stessa immagine. Quanti assi di simmetria ha?
- a) 3, uno per ogni pala
- b) Nessuno, non ha assi di simmetria
- c) 6, uno per ogni pala e uno tra le pale
- d) 120
Risposta corretta: b) Nessuno, non ha assi di simmetria — Esatto: coincide con se stessa dopo una rotazione di 120°, ma una riflessione piegherebbe le pale dall'altra parte, quindi non c'è alcun asse.
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