Mathématiques 6e année : Rosaces : symétries de rotation et axes
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Trouver l'angle minimal de rotation d'une rosace, le relier au nombre d'axes de symétrie et construire une rosace par rotations successives.
Une figure qui se répète autour d'un centre
Une rosace est une figure formée de copies identiques d'un motif, obtenues par rotations successives autour d'un même centre. Si tu fais tourner la rosace pour qu'elle retombe exactement sur elle-même, cette rotation est une symétrie de rotation. La plus petite est l'angle minimal, égal à 360° ÷ n, où n est le nombre de copies : avec 10 copies, 36° ; avec 12 copies, 30°. Toutes les autres rotations qui la laissent inchangée en sont des multiples.
L'angle minimal compte les copies et dit comment construire
L'angle minimal est la clé d'une rosace pour deux raisons. D'abord, on y lit le nombre de copies : 360° ÷ 45° = 8. Ensuite, il dit comment elle a été construite : on a tourné le motif du même angle, copie après copie, jusqu'à fermer les 360°. Ainsi, quand tu analyses une rosace, tu mesures l'angle minimal et tu peux déjà expliquer comment elle a été faite.
Un cas : construire une rosace de 5 copies
Motif : un triangle dont un sommet est au centre O. Tu veux 5 copies identiques autour de O. Étape 1 : angle = 360° ÷ 5 = 72°. Étape 2 : fais tourner le triangle de 72° autour de O (2e copie), puis cette copie de 72° encore (3e), et ainsi de suite : elles sont à 72°, 144°, 216° et 288° de l'original. Étape 3 : encore 72° feraient 360°, un tour complet, et tu retomberais sur l'original, donc tu t'arrêtes. Rotations qui la laissent inchangée : 72°, 144°, 216°, 288°.
Toute rosace n'a pas d'axes : le moulinet
L'erreur raisonnable : croire que le nombre d'axes de symétrie est toujours égal au nombre de copies. Dans une rosace à symétrie de réflexion, le nombre d'axes est n et l'angle minimal est 360° ÷ n : 6 axes, 60° ; 8 axes, 45°. Mais un moulinet à 3 pales courbes, toutes recourbées du même côté, retombe sur lui-même tous les 120° et n'a aucun axe : un miroir courberait les pales dans l'autre sens. Vérifie d'abord s'il y a des axes ; ensuite seulement, compte.
Où on le voit : fenêtres, logos et programmes
On voit des rosaces dans les fenêtres rondes de vieux bâtiments, sur des carreaux, des jantes et des logos : cherche le centre et compte les copies pour trouver l'angle minimal. Une rosace de 12 copies a un angle minimal de 30°. Dans un programme à blocs comme Scratch, la recette est courte : répète 12 fois « dessine le motif, tourne de 30° ». Une suite d'étapes qui se répète, c'est un algorithme.
Teste ce que tu as appris
Une rosace a un angle minimal de rotation de 72°. Qu'est-ce que cela t'apprend ?
- a) La tourner de 72° autour de son centre la laisse identique, et aucune rotation plus petite n'y arrive
- b) Elle a 72 copies du motif
- c) Elle a 72 axes de symétrie
- d) Toute rotation inférieure à 72° la laisse aussi identique
Bonne réponse: a) La tourner de 72° autour de son centre la laisse identique, et aucune rotation plus petite n'y arrive — Exact : c'est ce que veut dire « angle minimal ». Ici 360° ÷ 72° = 5, donc la rosace a 5 copies du motif.
Une rosace à symétrie de réflexion a 9 axes de symétrie. Quel est son angle minimal de rotation ?
- a) 9°
- b) 20°
- c) 45°
- d) 40°
Bonne réponse: d) 40° — Exact : 360° ÷ 9 = 40°. Vérifie : 9 rotations de 40° font 360°, un tour entier.
Un moulinet a 3 pales courbes identiques, toutes recourbées du même côté. Le tourner de 120° autour du centre donne la même image. Combien d'axes de symétrie a-t-il ?
- a) 3, un par pale
- b) Aucun, il n'a pas d'axe de symétrie
- c) 6, un par pale et un entre les pales
- d) 120
Bonne réponse: b) Aucun, il n'a pas d'axe de symétrie — Exact : il retombe sur lui-même après 120°, mais une réflexion courberait les pales de l'autre côté, donc il n'y a pas d'axe.
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