Matemática 7.º ano: Critérios de semelhança de triângulos
Matemática, 7.º ano (Portugal): Descobre que bastam dois ângulos para garantir triângulos semelhantes, conhece os outros dois critérios, evita aplicá-los mal e usa-os para calcular medidas.
Três maneiras de garantir que dois triângulos são semelhantes
Para saber se dois triângulos são semelhantes não é preciso comparar tudo. Chega uma destas verificações. Critério AA: dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro. Critério LAL: dois lados proporcionais e o ângulo formado por esses lados igual. Critério LLL: os três lados proporcionais, com a mesma razão. Se um deles se verifica, os triângulos são semelhantes, e tudo o resto (o terceiro ângulo, os outros lados) fica determinado.
Porque é que dois ângulos chegam
A soma dos ângulos de um triângulo é 180°. Se dois ângulos medem 50° e 60°, o terceiro tem de medir 70°, nos dois triângulos. Se construíres, com régua e transferidor, triângulos com ângulos de 50° e 60° e um lado entre eles de 4 cm, 6 cm ou 9 cm, obténs triângulos diferentes entre si, mas todos com a mesma forma: são semelhantes. O comprimento desse lado só decide o tamanho, nunca a forma.
Medir uma altura com uma sombra
Num terreno plano e à mesma hora, um poste vertical de 1,5 m faz uma sombra de 2 m e uma árvore, também vertical, faz uma sombra de 10 m. Os raios do sol chegam com a mesma inclinação e cada objeto forma um ângulo reto com o chão, por isso os dois triângulos têm dois ângulos iguais: são semelhantes (critério AA). A razão das sombras é 10 ÷ 2 = 5, logo a altura da árvore é 5 × 1,5 = 7,5 m. Como proporção: altura ÷ 1,5 = 10 ÷ 2, altura = 7,5 m.
A armadilha: dois lados e um ângulo, mas o ângulo errado
O critério LAL exige que o ângulo fique entre os dois lados. Se o ângulo igual está noutro sítio, pode falhar. Desenha um ângulo de 30° e, a partir do vértice, um lado de 10 cm. Abre o compasso 6 cm e põe a ponta na outra extremidade: corta o outro lado do ângulo em dois pontos, e saem dois triângulos diferentes. O ângulo oposto ao lado de 10 cm mede 56,4° num e 123,6° no outro. Dobra um deles (20 cm e 12 cm): ao lado do outro há lados proporcionais e um ângulo igual, mas não são semelhantes.
Onde vês isto fora da escola
Quem faz mapas, plantas e obras usa triângulos semelhantes para calcular o que não consegue medir diretamente: a altura de um edifício ou a largura de um rio. Mede-se um triângulo pequeno, ao alcance da mão, e, como é semelhante ao grande, a razão entre os lados dá a medida que falta. Com uma régua, uma fita métrica e o sol, também tu podes medir o mastro da bandeira da escola.
Testa o que aprendeste
Que informação chega para ter a certeza de que dois triângulos são semelhantes?
- a) Têm o mesmo perímetro
- b) Têm um ângulo igual
- c) Dois ângulos de um são iguais a dois ângulos do outro
- d) Têm a mesma área
Resposta certa: c) Dois ângulos de um são iguais a dois ângulos do outro — Certo, é o critério AA: os ângulos somam 180°, por isso os terceiros ângulos também são iguais e as formas coincidem.
Num terreno plano, um poste vertical de 2 m faz uma sombra de 3 m. À mesma hora, uma árvore vertical faz uma sombra de 12 m. Qual é a altura da árvore?
- a) 8 m
- b) 11 m
- c) 18 m
Resposta certa: a) 8 m — Certo: os triângulos são semelhantes (AA), as sombras estão na razão 12 ÷ 3 = 4, logo a altura é 4 × 2 = 8 m.
O triângulo P tem lados de 10 cm e 6 cm e um ângulo de 30° oposto ao lado de 6 cm. O triângulo Q tem lados de 20 cm e 12 cm e um ângulo de 30° oposto ao lado de 12 cm. Como 10 ÷ 20 = 6 ÷ 12, P e Q são com certeza semelhantes?
- a) Sim: dois lados proporcionais e um ângulo igual chegam
- b) Não necessariamente: o ângulo não está entre os dois lados, por isso o critério LAL não se aplica
- c) Não, nunca: triângulos com lados de comprimentos diferentes não podem ser semelhantes
Resposta certa: b) Não necessariamente: o ângulo não está entre os dois lados, por isso o critério LAL não se aplica — Certo: com 10 cm, 6 cm e 30° oposto ao lado de 6 cm há dois triângulos possíveis, com 56,4° ou 123,6° opostos ao lado de 10 cm.
Continua a explorar
Outras línguas
A carregar o MyLeoNes™…