Matemáticas 7.º curso: Criterios de semejanza de triángulos
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Descubre que bastan dos ángulos para que dos triángulos sean semejantes, conoce los otros dos criterios, evita aplicarlos mal y úsalos para calcular medidas.
Tres maneras de asegurar que dos triángulos son semejantes
Para saber si dos triángulos son semejantes no hace falta comparar todo. Basta una de estas comprobaciones. Criterio AA: dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos del otro. Criterio LAL: dos lados proporcionales y el ángulo formado por esos lados igual. Criterio LLL: los tres lados proporcionales, con la misma razón. Si se cumple uno, los triángulos son semejantes, y todo lo demás (el tercer ángulo, los otros lados) queda determinado.
Por qué bastan dos ángulos
Los ángulos de un triángulo suman 180°. Si dos ángulos miden 50° y 60°, el tercero tiene que medir 70°, en los dos triángulos. Si construyes con regla y transportador triángulos con ángulos de 50° y 60° y un lado entre ellos de 4 cm, 6 cm o 9 cm, obtienes triángulos distintos, pero todos con la misma forma: son semejantes. La longitud de ese lado solo decide el tamaño, nunca la forma.
Medir una altura con una sombra
En un terreno llano y a la misma hora, un poste vertical de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m y un árbol, también vertical, proyecta una sombra de 10 m. Los rayos del sol llegan con la misma inclinación y cada objeto forma un ángulo recto con el suelo, así que los dos triángulos tienen dos ángulos iguales: son semejantes (criterio AA). La razón de las sombras es 10 ÷ 2 = 5, luego la altura del árbol es 5 × 1,5 = 7,5 m. Como proporción: altura ÷ 1,5 = 10 ÷ 2, altura = 7,5 m.
La trampa: dos lados y un ángulo, pero el ángulo equivocado
El criterio LAL exige que el ángulo esté entre los dos lados. Si el ángulo igual está en otro sitio, puede fallar. Dibuja un ángulo de 30° y, desde su vértice, un lado de 10 cm. Abre el compás 6 cm y pon la punta en el otro extremo: corta el otro lado del ángulo en dos puntos, y salen dos triángulos distintos. El ángulo opuesto al lado de 10 cm mide 56,4° en uno y 123,6° en el otro. Dobla uno de ellos (20 cm y 12 cm): junto al otro hay lados proporcionales y un ángulo igual, pero no son semejantes.
Dónde lo ves fuera de la escuela
Quien hace mapas, planos y obras usa triángulos semejantes para calcular lo que no puede medir directamente: la altura de un edificio o la anchura de un río. Se mide un triángulo pequeño, al alcance de la mano, y, como es semejante al grande, la razón entre los lados da la medida que falta. Con una regla, una cinta métrica y el sol, tú también puedes medir el mástil de la bandera del colegio.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Qué información basta para estar seguro de que dos triángulos son semejantes?
- a) Tienen el mismo perímetro
- b) Tienen un ángulo igual
- c) Dos ángulos de uno son iguales a dos ángulos del otro
- d) Tienen la misma área
Respuesta correcta: c) Dos ángulos de uno son iguales a dos ángulos del otro — Correcto, es el criterio AA: los ángulos suman 180°, así que los terceros ángulos también son iguales y las formas coinciden.
En un terreno llano, un poste vertical de 2 m proyecta una sombra de 3 m. A la misma hora, un árbol vertical proyecta una sombra de 12 m. ¿Qué altura tiene el árbol?
- a) 8 m
- b) 11 m
- c) 18 m
Respuesta correcta: a) 8 m — Correcto: los triángulos son semejantes (AA), las sombras están en razón 12 ÷ 3 = 4, luego la altura es 4 × 2 = 8 m.
El triángulo P tiene lados de 10 cm y 6 cm y un ángulo de 30° opuesto al lado de 6 cm. El triángulo Q tiene lados de 20 cm y 12 cm y un ángulo de 30° opuesto al lado de 12 cm. Como 10 ÷ 20 = 6 ÷ 12, ¿son P y Q seguro semejantes?
- a) Sí: dos lados proporcionales y un ángulo igual bastan
- b) No necesariamente: el ángulo no está entre los dos lados, así que el criterio LAL no se aplica
- c) No, nunca: triángulos con lados de longitudes distintas no pueden ser semejantes
Respuesta correcta: b) No necesariamente: el ángulo no está entre los dos lados, así que el criterio LAL no se aplica — Correcto: con 10 cm, 6 cm y 30° opuesto al lado de 6 cm hay dos triángulos posibles, con 56,4° o 123,6° opuestos al lado de 10 cm.
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