Matematica classe 7: Criteri di similitudine dei triangoli
Matematica, classe 7 (Portogallo): Scopri che bastano due angoli perché due triangoli siano simili, conosci gli altri due criteri, evita di applicarli male e usali per calcolare misure.
Tre modi per essere sicuri che due triangoli siano simili
Per sapere se due triangoli sono simili non serve confrontare tutto. Basta una di queste verifiche. Criterio AA: due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli dell'altro. Criterio LAL: due lati proporzionali e l'angolo compreso tra essi uguale. Criterio LLL: i tre lati proporzionali, con lo stesso rapporto. Se ne vale uno, i triangoli sono simili, e tutto il resto (il terzo angolo, gli altri lati) è determinato.
Perché bastano due angoli
La somma degli angoli di un triangolo è 180°. Se due angoli misurano 50° e 60°, il terzo deve misurare 70°, in entrambi i triangoli. Se costruisci con righello e goniometro triangoli con angoli di 50° e 60° e un lato tra essi di 4 cm, 6 cm o 9 cm, ottieni triangoli diversi, ma tutti con la stessa forma: sono simili. La lunghezza di quel lato decide solo la dimensione, mai la forma.
Misurare un'altezza con un'ombra
Su un terreno piano e alla stessa ora, un palo verticale di 1,5 m proietta un'ombra di 2 m e un albero, anch'esso verticale, un'ombra di 10 m. I raggi del sole arrivano con la stessa inclinazione e ogni oggetto forma un angolo retto con il suolo, quindi i due triangoli hanno due angoli uguali: sono simili (criterio AA). Il rapporto delle ombre è 10 ÷ 2 = 5, perciò l'altezza dell'albero è 5 × 1,5 = 7,5 m. Come proporzione: altezza ÷ 1,5 = 10 ÷ 2, altezza = 7,5 m.
La trappola: due lati e un angolo, ma l'angolo sbagliato
Il criterio LAL richiede che l'angolo stia tra i due lati. Se l'angolo uguale è altrove, può fallire. Disegna un angolo di 30° e, dal vertice, un lato di 10 cm. Apri il compasso di 6 cm e poggia la punta all'altra estremità: taglia l'altro lato dell'angolo in due punti, e si ottengono due triangoli diversi. L'angolo opposto al lato di 10 cm misura 56,4° in uno e 123,6° nell'altro. Raddoppia uno dei due (20 cm e 12 cm): rispetto all'altro ci sono lati proporzionali e un angolo uguale, ma non sono simili.
Dove lo vedi fuori dalla scuola
Chi fa mappe, piante e cantieri usa triangoli simili per calcolare ciò che non si può misurare direttamente: l'altezza di un edificio o la larghezza di un fiume. Si misura un triangolo piccolo, a portata di mano, e, poiché è simile a quello grande, il rapporto tra i lati dà la misura mancante. Con un righello, un metro e il sole, anche tu puoi misurare l'asta della bandiera della scuola.
Metti alla prova quello che hai imparato
Quale informazione basta per essere sicuri che due triangoli siano simili?
- a) Hanno lo stesso perimetro
- b) Hanno un angolo uguale
- c) Due angoli di uno sono uguali a due angoli dell'altro
- d) Hanno la stessa area
Risposta corretta: c) Due angoli di uno sono uguali a due angoli dell'altro — Giusto, è il criterio AA: gli angoli sommano 180°, quindi anche i terzi angoli sono uguali e le forme coincidono.
Su un terreno piano, un palo verticale di 2 m proietta un'ombra di 3 m. Alla stessa ora, un albero verticale proietta un'ombra di 12 m. Quanto è alto l'albero?
- a) 8 m
- b) 11 m
- c) 18 m
Risposta corretta: a) 8 m — Giusto: i triangoli sono simili (AA), le ombre sono nel rapporto 12 ÷ 3 = 4, quindi l'altezza è 4 × 2 = 8 m.
Il triangolo P ha lati di 10 cm e 6 cm e un angolo di 30° opposto al lato di 6 cm. Il triangolo Q ha lati di 20 cm e 12 cm e un angolo di 30° opposto al lato di 12 cm. Poiché 10 ÷ 20 = 6 ÷ 12, P e Q sono di certo simili?
- a) Sì: due lati proporzionali e un angolo uguale bastano
- b) Non necessariamente: l'angolo non è compreso tra i due lati, quindi il criterio LAL non si applica
- c) No, mai: triangoli con lati di lunghezze diverse non possono essere simili
Risposta corretta: b) Non necessariamente: l'angolo non è compreso tra i due lati, quindi il criterio LAL non si applica — Giusto: con 10 cm, 6 cm e 30° opposto al lato di 6 cm ci sono due triangoli possibili, con 56,4° o 123,6° opposti al lato di 10 cm.
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