Mathematik Klasse 7: Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Entdecke, dass zwei Winkel für ähnliche Dreiecke genügen, lerne die beiden anderen Sätze kennen, vermeide ihre falsche Anwendung und berechne damit Längen.
Drei Wege, sicher zu sein, dass Dreiecke ähnlich sind
Um zu entscheiden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, muss man nicht alles vergleichen. Eine dieser Prüfungen genügt. WW-Satz: Zwei Winkel des einen Dreiecks sind gleich zwei Winkeln des anderen. SWS-Satz: Zwei Seiten stehen im gleichen Verhältnis, und der eingeschlossene Winkel ist gleich. SSS-Satz: Alle drei Seiten stehen im selben Verhältnis. Trifft einer zu, sind die Dreiecke ähnlich, und alles Übrige (der dritte Winkel, die anderen Seiten) ist damit festgelegt.
Warum zwei Winkel genügen
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Sind zwei Winkel 50° und 60° groß, muss der dritte 70° groß sein, in beiden Dreiecken. Konstruierst du mit Lineal und Geodreieck Dreiecke mit den Winkeln 50° und 60° und einer dazwischenliegenden Seite von 4 cm, 6 cm oder 9 cm, entstehen verschiedene Dreiecke, alle mit derselben Form: Sie sind ähnlich. Die Länge dieser Seite bestimmt nur die Größe, nie die Form.
Eine Höhe mit einem Schatten messen
Auf ebenem Boden und zur selben Tageszeit wirft ein senkrechter Pfosten von 1,5 m Höhe einen Schatten von 2 m und ein ebenfalls senkrechter Baum einen Schatten von 10 m. Die Sonnenstrahlen fallen unter demselben Winkel ein, und jeder Gegenstand steht im rechten Winkel zum Boden; beide Dreiecke haben also zwei gleiche Winkel und sind ähnlich (WW-Satz). Das Verhältnis der Schatten ist 10 ÷ 2 = 5, die Höhe des Baums also 5 × 1,5 = 7,5 m. Als Proportion: Höhe ÷ 1,5 = 10 ÷ 2, Höhe = 7,5 m.
Die Falle: zwei Seiten und ein Winkel, aber der falsche Winkel
Der SWS-Satz verlangt, dass der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt. Liegt der gleiche Winkel woanders, kann er versagen. Zeichne einen 30°-Winkel und von seinem Scheitel aus eine Seite von 10 cm. Öffne den Zirkel auf 6 cm und setze die Spitze am anderen Ende ein: Er schneidet den anderen Schenkel des Winkels in zwei Punkten, es entstehen zwei verschiedene Dreiecke. Der Winkel gegenüber der 10-cm-Seite misst im einen 56,4°, im anderen 123,6°. Verdopple eines (20 cm und 12 cm): Im Vergleich zum anderen gibt es proportionale Seiten und einen gleichen Winkel, doch sie sind nicht ähnlich.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Wer Karten, Pläne und Bauten erstellt, nutzt ähnliche Dreiecke, um zu berechnen, was sich nicht direkt messen lässt: die Höhe eines Gebäudes oder die Breite eines Flusses. Man misst ein kleines Dreieck in Reichweite, und weil es dem großen ähnlich ist, liefert das Verhältnis der Seiten das fehlende Maß. Mit Lineal, Maßband und Sonne kannst auch du den Fahnenmast deiner Schule messen.
Teste, was du gelernt hast
Welche Angabe genügt, um sicher zu sein, dass zwei Dreiecke ähnlich sind?
- a) Sie haben denselben Umfang
- b) Sie haben einen gleichen Winkel
- c) Zwei Winkel des einen sind gleich zwei Winkeln des anderen
- d) Sie haben denselben Flächeninhalt
Richtige Antwort: c) Zwei Winkel des einen sind gleich zwei Winkeln des anderen — Richtig, der WW-Satz: Die Winkel summieren sich zu 180°, also sind auch die dritten Winkel gleich, und die Formen stimmen überein.
Auf ebenem Boden wirft ein senkrechter Pfosten von 2 m Höhe einen Schatten von 3 m. Zur selben Zeit wirft ein senkrechter Baum einen Schatten von 12 m. Wie hoch ist der Baum?
- a) 8 m
- b) 11 m
- c) 18 m
Richtige Antwort: a) 8 m — Richtig: Die Dreiecke sind ähnlich (WW), die Schatten stehen im Verhältnis 12 ÷ 3 = 4, die Höhe ist also 4 × 2 = 8 m.
Dreieck P hat Seiten von 10 cm und 6 cm und einen 30°-Winkel gegenüber der 6-cm-Seite. Dreieck Q hat Seiten von 20 cm und 12 cm und einen 30°-Winkel gegenüber der 12-cm-Seite. Wegen 10 ÷ 20 = 6 ÷ 12: Sind P und Q sicher ähnlich?
- a) Ja: zwei proportionale Seiten und ein gleicher Winkel genügen
- b) Nicht unbedingt: Der Winkel liegt nicht zwischen den beiden Seiten, der SWS-Satz gilt also nicht
- c) Nein, nie: Dreiecke mit verschieden langen Seiten können nicht ähnlich sein
Richtige Antwort: b) Nicht unbedingt: Der Winkel liegt nicht zwischen den beiden Seiten, der SWS-Satz gilt also nicht — Richtig: Mit 10 cm, 6 cm und 30° gegenüber der 6-cm-Seite gibt es zwei mögliche Dreiecke, mit 56,4° oder 123,6° gegenüber der 10-cm-Seite.
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