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Mathématiques 7e année : Critères de similitude des triangles

Mathématiques, 7e année (Portugal) : Découvre que deux angles suffisent pour que deux triangles soient semblables, connais les deux autres critères, évite de les mal appliquer et sers-t'en pour calculer des mesures.

Trois façons d'être sûr que deux triangles sont semblables

Pour savoir si deux triangles sont semblables, il n'est pas nécessaire de tout comparer. Une seule de ces vérifications suffit. Critère AA : deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre. Critère CAC : deux côtés proportionnels et l'angle compris entre eux égal. Critère CCC : les trois côtés proportionnels, avec le même rapport. Si l'un est vérifié, les triangles sont semblables, et tout le reste (le troisième angle, les autres côtés) est déterminé.

Pourquoi deux angles suffisent

Les angles d'un triangle ont pour somme 180°. Si deux angles mesurent 50° et 60°, le troisième mesure forcément 70°, dans les deux triangles. Si tu construis à la règle et au rapporteur des triangles d'angles 50° et 60° avec un côté entre eux de 4 cm, 6 cm ou 9 cm, tu obtiens des triangles différents, mais tous de même forme : ils sont semblables. La longueur de ce côté décide seulement de la taille, jamais de la forme.

Mesurer une hauteur avec une ombre

Sur un terrain plat et à la même heure, un poteau vertical de 1,5 m projette une ombre de 2 m et un arbre, lui aussi vertical, une ombre de 10 m. Les rayons du soleil arrivent avec la même inclinaison et chaque objet forme un angle droit avec le sol : les deux triangles ont donc deux angles égaux, ils sont semblables (critère AA). Le rapport des ombres est 10 ÷ 2 = 5, donc la hauteur de l'arbre est 5 × 1,5 = 7,5 m. En proportion : hauteur ÷ 1,5 = 10 ÷ 2, hauteur = 7,5 m.

Le piège : deux côtés et un angle, mais le mauvais angle

Le critère CAC exige que l'angle soit compris entre les deux côtés. Si l'angle égal est ailleurs, il peut échouer. Trace un angle de 30° et, depuis son sommet, un côté de 10 cm. Ouvre le compas de 6 cm et pose la pointe à l'autre extrémité : il coupe l'autre côté de l'angle en deux points, et on obtient deux triangles différents. L'angle opposé au côté de 10 cm mesure 56,4° dans l'un et 123,6° dans l'autre. Double l'un d'eux (20 cm et 12 cm) : face à l'autre, il y a des côtés proportionnels et un angle égal, mais ils ne sont pas semblables.

Où tu vois ça hors de l'école

Ceux qui font des cartes, des plans et des chantiers utilisent des triangles semblables pour calculer ce qu'ils ne peuvent pas mesurer directement : la hauteur d'un immeuble ou la largeur d'une rivière. On mesure un petit triangle à portée de main et, comme il est semblable au grand, le rapport entre les côtés donne la mesure manquante. Avec une règle, un mètre ruban et le soleil, tu peux aussi mesurer le mât du drapeau de l'école.

Teste ce que tu as appris

  1. Quelle information suffit pour être sûr que deux triangles sont semblables ?

    • a) Ils ont le même périmètre
    • b) Ils ont un angle égal
    • c) Deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre
    • d) Ils ont la même aire

    Bonne réponse: c) Deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre — Exact, c'est le critère AA : les angles ont pour somme 180°, donc les troisièmes angles sont égaux aussi et les formes coïncident.

  2. Sur un terrain plat, un poteau vertical de 2 m projette une ombre de 3 m. À la même heure, un arbre vertical projette une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

    • a) 8 m
    • b) 11 m
    • c) 18 m

    Bonne réponse: a) 8 m — Exact : les triangles sont semblables (AA), les ombres sont dans le rapport 12 ÷ 3 = 4, donc la hauteur est 4 × 2 = 8 m.

  3. Le triangle P a des côtés de 10 cm et 6 cm et un angle de 30° opposé au côté de 6 cm. Le triangle Q a des côtés de 20 cm et 12 cm et un angle de 30° opposé au côté de 12 cm. Comme 10 ÷ 20 = 6 ÷ 12, P et Q sont-ils sûrement semblables ?

    • a) Oui : deux côtés proportionnels et un angle égal suffisent
    • b) Pas forcément : l'angle n'est pas compris entre les deux côtés, donc le critère CAC ne s'applique pas
    • c) Non, jamais : des triangles aux côtés de longueurs différentes ne peuvent pas être semblables

    Bonne réponse: b) Pas forcément : l'angle n'est pas compris entre les deux côtés, donc le critère CAC ne s'applique pas — Exact : avec 10 cm, 6 cm et 30° opposé au côté de 6 cm, il y a deux triangles possibles, avec 56,4° ou 123,6° opposés au côté de 10 cm.

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