Matemática 6.º ano: Polígonos: côncavos ou convexos, regulares ou irregulares
Matemática, 6.º ano (Portugal): Distingue polígonos côncavos de convexos e regulares de irregulares, e usa o perímetro para resolver problemas com eles.
Duas perguntas sobre a forma de um polígono
Pergunta 1: é convexo? Escolhe dois pontos quaisquer dentro do polígono e une-os com um segmento. Se o segmento fica sempre dentro, o polígono é convexo; se algum segmento sai da figura, é côncavo (tem um «bico» empurrado para dentro). Pergunta 2: é regular? Um polígono é regular quando tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes; se falhar uma das duas coisas, é irregular. O quadrado é regular; um triângulo escaleno é irregular (e, como todos os triângulos, convexo).
Porque é que são duas perguntas e não uma
Porque respondem a coisas diferentes: uma olha para «se tem entradas», a outra para «se é igual por todos os lados». Um quadrado é convexo e regular; um retângulo de 6 por 3 é convexo e irregular; uma figura em «L» ou em «seta» é côncava e irregular. Descrever bem um polígono é dizer as duas coisas. E o que se sabe ajuda a calcular: num polígono regular com n lados de medida ℓ, o perímetro é n × ℓ, sem somar lado a lado. Os polígonos regulares que conheces são todos convexos.
Um caso: o «L» e o quadrado
Numa quadrícula de 1 cm, o polígono «L» tem vértices (0 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 2), (2 ; 2), (2 ; 4), (0 ; 4). Convexo? Toma A = (3,5 ; 1) e B = (1 ; 3,5), ambos dentro. O ponto médio de [AB] é (2,25 ; 2,25), que está no canto que falta: o segmento sai da figura, logo o «L» é côncavo (e irregular: lados de 4 cm e de 2 cm). Perímetro: 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 16 cm, igual ao do quadrado de 4 cm de lado (4 × 4 = 16 cm). Áreas: 4 × 4 − 2 × 2 = 12 cm² contra 16 cm².
A armadilha: lados iguais não chegam
«Todos os lados iguais» parece suficiente, mas não é. Um losango de 5 cm de lado tem os quatro lados congruentes, mas os ângulos podem ser, por exemplo, 60° e 120°: é irregular. Um retângulo de 6 cm por 3 cm tem os quatro ângulos retos, mas lados diferentes: também é irregular. Entre os quadriláteros, só o quadrado tem as duas coisas. Antes de dizeres «regular», verifica os lados E os ângulos, e não te fies só no desenho: mede.
Onde vês isto fora da escola
O sinal de STOP é um octógono regular: oito lados e oito ângulos iguais. Os alvéolos de uma colmeia parecem hexágonos regulares, e um azulejo quadrado é um polígono regular. A planta de uma casa em «L», o contorno de um mapa ou uma seta pintada na estrada são polígonos irregulares, e muitos são côncavos. Quem desenha um jogo ou uma planta usa o mesmo teste: uma linha reta entre dois pontos da sala sai da sala?
Testa o que aprendeste
Como se reconhece que um polígono é côncavo?
- a) Tem todos os lados congruentes
- b) Tem mais de quatro lados
- c) Há dois pontos dentro dele unidos por um segmento que sai da figura
- d) Tem pelo menos um ângulo reto
Resposta certa: c) Há dois pontos dentro dele unidos por um segmento que sai da figura — Certo: é esse o teste. Se algum segmento entre pontos interiores passa por fora, o polígono tem um «bico» para dentro, logo é côncavo.
Um pentágono regular de 12 cm de lado e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. Quanto mede o lado do hexágono?
- a) 10 cm
- b) 12 cm
- c) 72 cm
- d) 5 cm
Resposta certa: a) 10 cm — Sim: o pentágono tem 5 × 12 = 60 cm, e o hexágono reparte isso por 6 lados iguais: 60 ÷ 6 = 10 cm.
Um losango tem os quatro lados com 5 cm. É um polígono regular?
- a) Sim, porque tem todos os lados congruentes
- b) Não, um losango nunca pode ser regular
- c) Sim, desde que seja convexo
- d) Só se os quatro ângulos também forem congruentes; então é um quadrado
Resposta certa: d) Só se os quatro ângulos também forem congruentes; então é um quadrado — Certo: regular pede lados iguais E ângulos iguais. Um losango que também tem ângulos iguais é um quadrado.
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