Mathematik Klasse 6: Vielecke: konkav oder konvex, regelmäßig oder unregelmäßig
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Unterscheide konkave von konvexen und regelmäßige von unregelmäßigen Vielecken und löse damit Aufgaben zum Umfang.
Zwei Fragen zur Form eines Vielecks
Frage 1: Ist es konvex? Wähle zwei beliebige Punkte im Inneren des Vielecks und verbinde sie mit einer Strecke. Bleibt die Strecke immer innerhalb, ist das Vieleck konvex; verlässt irgendeine Strecke die Figur, ist es konkav (es hat eine „eingedrückte“ Ecke). Frage 2: Ist es regelmäßig? Ein Vieleck ist regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind; fehlt eines von beiden, ist es unregelmäßig. Das Quadrat ist regelmäßig; ein ungleichseitiges Dreieck ist unregelmäßig (und, wie jedes Dreieck, konvex).
Warum zwei Fragen und nicht eine
Weil sie Verschiedenes prüfen: Die eine schaut, ob die Figur „Einbuchtungen“ hat, die andere, ob sie ringsum gleich ist. Ein Quadrat ist konvex und regelmäßig; ein Rechteck 6 mal 3 ist konvex und unregelmäßig; eine „L“- oder Pfeilform ist konkav und unregelmäßig. Ein Vieleck gut zu beschreiben heißt, beides zu sagen. Und Wissen hilft beim Rechnen: In einem regelmäßigen Vieleck mit n Seiten der Länge ℓ ist der Umfang n × ℓ, ohne Seite für Seite zu addieren. Alle regelmäßigen Vielecke, die du kennst, sind konvex.
Ein Beispiel: das „L“ und das Quadrat
Auf einem 1-cm-Raster hat das „L“-Vieleck die Ecken (0 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 2), (2 ; 2), (2 ; 4), (0 ; 4). Konvex? Nimm A = (3,5 ; 1) und B = (1 ; 3,5), beide innen. Der Mittelpunkt von [AB] ist (2,25 ; 2,25), in der fehlenden Ecke: Die Strecke verlässt die Figur, also ist das „L“ konkav (und unregelmäßig: Seiten von 4 cm und 2 cm). Umfang: 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 16 cm, wie beim Quadrat mit Seite 4 cm (4 × 4 = 16 cm). Flächen: 4 × 4 − 2 × 2 = 12 cm² gegen 16 cm².
Die Falle: gleiche Seiten reichen nicht
„Alle Seiten gleich“ klingt nach genug, ist es aber nicht. Eine Raute mit 5 cm Seitenlänge hat vier gleich lange Seiten, aber ihre Winkel können zum Beispiel 60° und 120° sein: Sie ist unregelmäßig. Ein Rechteck von 6 cm mal 3 cm hat vier rechte Winkel, aber verschiedene Seiten: ebenfalls unregelmäßig. Unter den Vierecken hat nur das Quadrat beides. Bevor du „regelmäßig“ sagst, prüfe die Seiten UND die Winkel und verlass dich nicht nur auf die Zeichnung: Miss nach.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Ein STOP-Schild ist ein regelmäßiges Achteck: acht gleiche Seiten und acht gleiche Winkel. Die Zellen einer Bienenwabe sehen wie regelmäßige Sechsecke aus, und eine quadratische Fliese ist ein regelmäßiges Vieleck. Der Grundriss eines „L“-förmigen Hauses, der Umriss einer Landkarte oder ein auf die Straße gemalter Pfeil sind unregelmäßige Vielecke, viele davon konkav. Wer ein Spiel oder einen Grundriss zeichnet, nutzt denselben Test: Verlässt eine gerade Linie zwischen zwei Punkten des Raums den Raum?
Teste, was du gelernt hast
Woran erkennt man, dass ein Vieleck konkav ist?
- a) Alle Seiten sind gleich lang
- b) Es hat mehr als vier Seiten
- c) Zwei Punkte im Inneren lassen sich durch eine Strecke verbinden, die die Figur verlässt
- d) Es hat mindestens einen rechten Winkel
Richtige Antwort: c) Zwei Punkte im Inneren lassen sich durch eine Strecke verbinden, die die Figur verlässt — Richtig: Das ist der Test. Verläuft eine Strecke zwischen inneren Punkten außerhalb, hat das Vieleck eine eingedrückte Ecke, ist also konkav.
Ein regelmäßiges Fünfeck mit 12 cm Seitenlänge und ein regelmäßiges Sechseck haben denselben Umfang. Wie lang ist eine Seite des Sechsecks?
- a) 10 cm
- b) 12 cm
- c) 72 cm
- d) 5 cm
Richtige Antwort: a) 10 cm — Ja: Das Fünfeck hat 5 × 12 = 60 cm, und das Sechseck teilt das auf 6 gleiche Seiten: 60 : 6 = 10 cm.
Eine Raute hat vier Seiten von 5 cm. Ist sie ein regelmäßiges Vieleck?
- a) Ja, weil alle Seiten gleich lang sind
- b) Nein, eine Raute kann nie regelmäßig sein
- c) Ja, solange es konvex ist
- d) Nur wenn auch seine vier Winkel gleich sind; dann ist es ein Quadrat
Richtige Antwort: d) Nur wenn auch seine vier Winkel gleich sind; dann ist es ein Quadrat — Richtig: Regelmäßig verlangt gleiche Seiten UND gleiche Winkel. Eine Raute mit gleichen Winkeln ist ein Quadrat.
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