Matemáticas 6.º curso: Polígonos: cóncavos o convexos, regulares o irregulares
Matemáticas, 6.º curso (Portugal): Distingue polígonos cóncavos de convexos y regulares de irregulares, y usa el perímetro para resolver problemas con ellos.
Dos preguntas sobre la forma de un polígono
Pregunta 1: ¿es convexo? Elige dos puntos cualesquiera dentro del polígono y únelos con un segmento. Si el segmento siempre queda dentro, el polígono es convexo; si algún segmento sale de la figura, es cóncavo (tiene una esquina «hundida»). Pregunta 2: ¿es regular? Un polígono es regular cuando todos sus lados son congruentes y todos sus ángulos son congruentes; si falla una de las dos cosas, es irregular. El cuadrado es regular; un triángulo escaleno es irregular (y, como todos los triángulos, convexo).
Por qué son dos preguntas y no una
Porque responden a cosas distintas: una mira si la figura tiene «entrantes», la otra si es igual por todos lados. Un cuadrado es convexo y regular; un rectángulo de 6 por 3 es convexo e irregular; una figura en «L» o en forma de flecha es cóncava e irregular. Describir bien un polígono es decir las dos cosas. Y lo que sabes ayuda a calcular: en un polígono regular de n lados de medida ℓ, el perímetro es n × ℓ, sin sumar lado a lado. Todos los polígonos regulares que conoces son convexos.
Un caso: la «L» y el cuadrado
En una cuadrícula de 1 cm, el polígono «L» tiene vértices (0 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 2), (2 ; 2), (2 ; 4), (0 ; 4). ¿Convexo? Toma A = (3,5 ; 1) y B = (1 ; 3,5), ambos dentro. El punto medio de [AB] es (2,25 ; 2,25), en la esquina que falta: el segmento sale de la figura, así que la «L» es cóncava (e irregular: lados de 4 cm y de 2 cm). Perímetro: 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 16 cm, igual al del cuadrado de 4 cm de lado (4 × 4 = 16 cm). Áreas: 4 × 4 − 2 × 2 = 12 cm² frente a 16 cm².
La trampa: lados iguales no bastan
«Todos los lados iguales» parece suficiente, pero no lo es. Un rombo de 5 cm de lado tiene los cuatro lados congruentes, pero sus ángulos pueden ser, por ejemplo, 60° y 120°: es irregular. Un rectángulo de 6 cm por 3 cm tiene los cuatro ángulos rectos, pero lados distintos: también es irregular. Entre los cuadriláteros, solo el cuadrado tiene las dos cosas. Antes de decir «regular», comprueba los lados Y los ángulos, y no te fíes solo del dibujo: mide.
Dónde lo ves fuera de la escuela
La señal de STOP es un octógono regular: ocho lados y ocho ángulos iguales. Las celdas de un panal parecen hexágonos regulares, y una baldosa cuadrada es un polígono regular. El plano de una casa en «L», el contorno de un mapa o una flecha pintada en la calzada son polígonos irregulares, y muchos son cóncavos. Quien diseña un juego o un plano usa la misma prueba: ¿una línea recta entre dos puntos de la sala sale de la sala?
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Cómo se reconoce que un polígono es cóncavo?
- a) Tiene todos los lados congruentes
- b) Tiene más de cuatro lados
- c) Hay dos puntos dentro de él unidos por un segmento que sale de la figura
- d) Tiene al menos un ángulo recto
Respuesta correcta: c) Hay dos puntos dentro de él unidos por un segmento que sale de la figura — Correcto: esa es la prueba. Si algún segmento entre puntos interiores pasa por fuera, el polígono tiene una esquina hundida, así que es cóncavo.
Un pentágono regular de 12 cm de lado y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. ¿Cuánto mide el lado del hexágono?
- a) 10 cm
- b) 12 cm
- c) 72 cm
- d) 5 cm
Respuesta correcta: a) 10 cm — Sí: el pentágono tiene 5 × 12 = 60 cm, y el hexágono lo reparte entre 6 lados iguales: 60 ÷ 6 = 10 cm.
Un rombo tiene los cuatro lados de 5 cm. ¿Es un polígono regular?
- a) Sí, porque tiene todos los lados congruentes
- b) No, un rombo nunca puede ser regular
- c) Sí, siempre que sea convexo
- d) Solo si sus cuatro ángulos también son congruentes; entonces es un cuadrado
Respuesta correcta: d) Solo si sus cuatro ángulos también son congruentes; entonces es un cuadrado — Correcto: regular exige lados iguales Y ángulos iguales. Un rombo que también tiene ángulos iguales es un cuadrado.
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