Mathématiques 6e année : Polygones : concaves ou convexes, réguliers ou irréguliers
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Distingue les polygones concaves des convexes et les réguliers des irréguliers, et utilise le périmètre pour résoudre des problèmes.
Deux questions sur la forme d'un polygone
Question 1 : est-il convexe ? Choisis deux points quelconques à l'intérieur du polygone et joins-les par un segment. Si le segment reste toujours à l'intérieur, le polygone est convexe ; si un segment sort de la figure, il est concave (il a un sommet « rentrant »). Question 2 : est-il régulier ? Un polygone est régulier quand tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles la même mesure ; si l'une des deux conditions manque, il est irrégulier. Le carré est régulier ; un triangle scalène est irrégulier (et, comme tout triangle, convexe).
Pourquoi deux questions et non une
Parce qu'elles portent sur deux choses différentes : l'une regarde si la figure a des « creux », l'autre si elle est identique tout autour. Un carré est convexe et régulier ; un rectangle de 6 sur 3 est convexe et irrégulier ; une figure en « L » ou en forme de flèche est concave et irrégulière. Bien décrire un polygone, c'est dire les deux. Et ce que tu sais aide à calculer : dans un polygone régulier à n côtés de longueur ℓ, le périmètre est n × ℓ, sans additionner côté par côté. Tous les polygones réguliers que tu connais sont convexes.
Un cas : le « L » et le carré
Sur un quadrillage de 1 cm, le polygone « L » a pour sommets (0 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 2), (2 ; 2), (2 ; 4), (0 ; 4). Convexe ? Prends A = (3,5 ; 1) et B = (1 ; 3,5), tous deux à l'intérieur. Le milieu de [AB] est (2,25 ; 2,25), dans le coin manquant : le segment sort de la figure, donc le « L » est concave (et irrégulier : côtés de 4 cm et de 2 cm). Périmètre : 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 16 cm, comme le carré de côté 4 cm (4 × 4 = 16 cm). Aires : 4 × 4 − 2 × 2 = 12 cm² contre 16 cm².
Le piège : des côtés égaux ne suffisent pas
« Tous les côtés égaux » semble suffisant, mais ce ne l'est pas. Un losange de 5 cm de côté a quatre côtés de même longueur, mais ses angles peuvent être, par exemple, 60° et 120° : il est irrégulier. Un rectangle de 6 cm sur 3 cm a quatre angles droits, mais des côtés différents : il est aussi irrégulier. Parmi les quadrilatères, seul le carré a les deux. Avant de dire « régulier », vérifie les côtés ET les angles, et ne te fie pas qu'au dessin : mesure.
Où tu le vois en dehors de l'école
Le panneau STOP est un octogone régulier : huit côtés et huit angles égaux. Les alvéoles d'un rayon de miel ressemblent à des hexagones réguliers, et un carreau carré est un polygone régulier. Le plan d'une maison en « L », le contour d'une carte ou une flèche peinte sur la route sont des polygones irréguliers, et beaucoup sont concaves. Qui dessine un jeu ou un plan utilise le même test : une ligne droite entre deux points de la pièce sort-elle de la pièce ?
Teste ce que tu as appris
Comment reconnaît-on qu'un polygone est concave ?
- a) Tous ses côtés ont la même longueur
- b) Il a plus de quatre côtés
- c) Deux points intérieurs peuvent être joints par un segment qui sort de la figure
- d) Il a au moins un angle droit
Bonne réponse: c) Deux points intérieurs peuvent être joints par un segment qui sort de la figure — Exact : c'est le test. Si un segment entre points intérieurs passe à l'extérieur, le polygone a un sommet rentrant : il est concave.
Un pentagone régulier de 12 cm de côté et un hexagone régulier ont le même périmètre. Combien mesure le côté de l'hexagone ?
- a) 10 cm
- b) 12 cm
- c) 72 cm
- d) 5 cm
Bonne réponse: a) 10 cm — Oui : le pentagone a 5 × 12 = 60 cm, et l'hexagone les partage entre 6 côtés égaux : 60 ÷ 6 = 10 cm.
Un losange a ses quatre côtés de 5 cm. Est-ce un polygone régulier ?
- a) Oui, car tous ses côtés ont la même longueur
- b) Non, un losange ne peut jamais être régulier
- c) Oui, pourvu qu'il soit convexe
- d) Seulement si ses quatre angles sont aussi égaux ; alors c'est un carré
Bonne réponse: d) Seulement si ses quatre angles sont aussi égaux ; alors c'est un carré — Exact : régulier demande des côtés égaux ET des angles égaux. Un losange qui a aussi des angles égaux est un carré.
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