Matemática 6.º ano: Volume do cilindro e de sólidos decomponíveis
Matemática, 6.º ano (Portugal): Um cilindro é uma pilha de círculos iguais, por isso o volume é a área da base vezes a altura; depois somam-se as partes de um sólido maior.
Círculos empilhados
Um cilindro é como um paralelepípedo, mas com a base circular. Empilha círculos finos e iguais até à altura h e tens um cilindro. Por isso, tal como no paralelepípedo, V = área da base × altura. A área de um círculo de raio r é π × r², logo V = π × r² × h. Nas contas usa π ≈ 3,14 ou a tecla π da calculadora.
Uma regra para paralelepípedos e cilindros
Os dois sólidos são pilhas de camadas iguais, por isso seguem a mesma regra: volume = área da base × altura. É por isso que, se variares a altura, o volume cresce na mesma proporção. Muitos objetos reais não são um só paralelepípedo ou cilindro, mas vários juntos. Então divides o sólido em partes que conheces, calculas cada volume na mesma unidade e somas (ou subtrais uma parte que falte).
Uma base de troféu com duas partes
Um troféu é uma placa de 12 cm por 12 cm por 2 cm com um cilindro em cima, de raio 3 cm e altura 5 cm. Placa: 12 × 12 × 2 = 288 cm³. Cilindro: área da base 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm², depois 28,26 × 5 = 141,3 cm³. Total: 288 + 141,3 = 429,3 cm³. As duas partes estão em cm³, por isso podem somar-se. Em números redondos, é pouco mais de 0,4 l de material.
O raio, não o diâmetro
A fórmula pede o raio r, mas uma lata ou um tubo costuma vir descrito pelo diâmetro. Uma lata de diâmetro 8 cm e altura 10 cm tem raio 4 cm: V = 3,14 × 4² × 10 = 502,4 cm³. Se pões 8 onde devia estar r, sai 3,14 × 8² × 10 = 2009,6 cm³, quatro vezes demais, porque o r está ao quadrado. Primeiro divide o diâmetro por 2, depois eleva ao quadrado.
Latas, tubos e depósitos
Os cilindros estão por todo o lado: latas de conserva, velas, canos de água, depósitos redondos e silos. A lata do cartão anterior tem 502,4 cm³, que são cerca de 0,5 dm³, por isso leva cerca de meio litro. Quem constrói divide formas complicadas em paralelepípedos e cilindros para estimar quanta água, betão ou ar cabe lá dentro, e os escultores fazem o mesmo para planear o material de uma peça.
Testa o que aprendeste
Um cilindro tem uma base de raio r e altura h. Que expressão dá o seu volume?
- a) π × r² × h, a área da base vezes a altura
- b) π × r × h
- c) π × r²
- d) 2 × π × r × h
Resposta certa: a) π × r² × h, a área da base vezes a altura — Sim: π × r² é a área da base circular, e repete-se ao longo da altura h, como no paralelepípedo.
Um pedestal é um paralelepípedo de 10 cm por 10 cm por 3 cm com um cilindro em cima (raio 2 cm, altura 8 cm). Com π ≈ 3,14, qual é o volume de todo o pedestal?
- a) 100,48 cm³
- b) 350,24 cm³
- c) 400,48 cm³
Resposta certa: c) 400,48 cm³ — Sim: paralelepípedo 10 × 10 × 3 = 300, cilindro 3,14 × 2² × 8 = 100,48, e 300 + 100,48 = 400,48 cm³.
Uma lata tem 6 cm de diâmetro e 10 cm de altura. Com π ≈ 3,14, qual é o seu volume?
- a) 1130,4 cm³
- b) 282,6 cm³
- c) 94,2 cm³
Resposta certa: b) 282,6 cm³ — Sim: r = 6 ÷ 2 = 3 cm, área da base 3,14 × 3² = 28,26 cm², e 28,26 × 10 = 282,6 cm³.
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