Mathematik Klasse 6: Volumen des Zylinders und zerlegbarer Körper
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Ein Zylinder ist ein Stapel gleicher Kreise, sein Volumen ist also Grundfläche mal Höhe; danach addiert man die Teile eines größeren Körpers.
Aufeinandergestapelte Kreise
Ein Zylinder ist wie ein Quader, nur mit kreisförmiger Grundfläche. Stapelst du gleiche dünne Kreise bis zur Höhe h, entsteht ein Zylinder. Also gilt wie beim Quader V = Flächeninhalt der Grundfläche × Höhe. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r ist π × r², daher V = π × r² × h. Rechne mit π ≈ 3,14 oder mit der π-Taste des Taschenrechners.
Eine Regel für Quader und Zylinder
Beide Körper sind Stapel gleicher Schichten, deshalb gilt dieselbe Regel: Volumen = Flächeninhalt der Grundfläche × Höhe. Darum wächst das Volumen im selben Verhältnis, wenn du die Höhe veränderst. Viele echte Gegenstände sind kein einzelner Quader oder Zylinder, sondern aus mehreren zusammengesetzt. Dann zerlegst du den Körper in bekannte Teile, berechnest jedes Volumen in derselben Einheit und addierst (oder ziehst ein fehlendes Stück ab).
Ein Pokalsockel aus zwei Teilen
Ein Pokal ist eine Platte 12 cm mal 12 cm mal 2 cm mit einem Zylinder darauf, Radius 3 cm und Höhe 5 cm. Platte: 12 × 12 × 2 = 288 cm³. Zylinder: Grundfläche 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm², dann 28,26 × 5 = 141,3 cm³. Gesamt: 288 + 141,3 = 429,3 cm³. Beide Teile sind in cm³, also darf man addieren. Gerundet sind das etwas mehr als 0,4 l Material.
Der Radius, nicht der Durchmesser
Die Formel verlangt den Radius r, aber eine Dose oder ein Rohr wird meist mit dem Durchmesser beschrieben. Eine Dose mit Durchmesser 8 cm und Höhe 10 cm hat Radius 4 cm: V = 3,14 × 4² × 10 = 502,4 cm³. Setzt du 8 statt r ein, kommt 3,14 × 8² × 10 = 2009,6 cm³ heraus, viermal zu viel, weil r quadriert wird. Halbiere zuerst den Durchmesser, dann quadriere.
Dosen, Rohre und Tanks
Zylinder gibt es überall: Konservendosen, Kerzen, Wasserrohre, runde Tanks und Silos. Die Dose der vorigen Karte hat 502,4 cm³, das sind etwa 0,5 dm³, sie fasst also rund einen halben Liter. Wer baut, zerlegt komplizierte Formen in Quader und Zylinder, um zu schätzen, wie viel Wasser, Beton oder Luft hineinpasst, und Bildhauer tun dasselbe, um den Materialbedarf eines Werks zu planen.
Teste, was du gelernt hast
Ein Zylinder hat eine Grundfläche mit Radius r und die Höhe h. Welcher Term gibt sein Volumen an?
- a) π × r² × h, Grundfläche mal Höhe
- b) π × r × h
- c) π × r²
- d) 2 × π × r × h
Richtige Antwort: a) π × r² × h, Grundfläche mal Höhe — Ja: π × r² ist der Flächeninhalt der Kreisfläche, und er wiederholt sich über die Höhe h, wie beim Quader.
Ein Sockel ist ein Quader 10 cm mal 10 cm mal 3 cm mit einem Zylinder darauf (Radius 2 cm, Höhe 8 cm). Wie groß ist das Volumen des ganzen Sockels mit π ≈ 3,14?
- a) 100,48 cm³
- b) 350,24 cm³
- c) 400,48 cm³
Richtige Antwort: c) 400,48 cm³ — Ja: Quader 10 × 10 × 3 = 300, Zylinder 3,14 × 2² × 8 = 100,48, und 300 + 100,48 = 400,48 cm³.
Eine Dose hat 6 cm Durchmesser und 10 cm Höhe. Wie groß ist ihr Volumen mit π ≈ 3,14?
- a) 1130,4 cm³
- b) 282,6 cm³
- c) 94,2 cm³
Richtige Antwort: b) 282,6 cm³ — Ja: r = 6 ÷ 2 = 3 cm, Grundfläche 3,14 × 3² = 28,26 cm², und 28,26 × 10 = 282,6 cm³.
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