Mathématiques 6e année : Volume du cylindre et de solides décomposables
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Un cylindre est une pile de disques égaux, donc son volume est l'aire de la base fois la hauteur ; ensuite on additionne les parties d'un solide plus grand.
Des disques empilés
Un cylindre ressemble à un pavé droit, mais sa base est un disque. Empile des disques fins et égaux jusqu'à la hauteur h et tu obtiens un cylindre. Donc, comme pour le pavé, V = aire de la base × hauteur. L'aire d'un disque de rayon r est π × r², d'où V = π × r² × h. Dans les calculs, utilise π ≈ 3,14 ou la touche π de la calculatrice.
Une règle pour pavés et cylindres
Les deux solides sont des piles de couches identiques, donc ils suivent la même règle : volume = aire de la base × hauteur. C'est pourquoi, si tu fais varier la hauteur, le volume grandit dans la même proportion. Beaucoup d'objets réels ne sont pas un seul pavé ou cylindre, mais plusieurs assemblés. Alors tu découpes le solide en parties que tu connais, tu calcules chaque volume dans la même unité et tu additionnes (ou tu retranches une partie manquante).
Un socle de trophée en deux parties
Un trophée est une plaque de 12 cm sur 12 cm sur 2 cm surmontée d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm. Plaque : 12 × 12 × 2 = 288 cm³. Cylindre : aire de la base 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm², puis 28,26 × 5 = 141,3 cm³. Total : 288 + 141,3 = 429,3 cm³. Les deux parties sont en cm³, on peut donc les additionner. En arrondi, c'est un peu plus de 0,4 L de matière.
Le rayon, pas le diamètre
La formule demande le rayon r, mais une boîte de conserve ou un tuyau est souvent décrit par son diamètre. Une boîte de diamètre 8 cm et de hauteur 10 cm a un rayon de 4 cm : V = 3,14 × 4² × 10 = 502,4 cm³. Si tu mets 8 à la place de r, tu obtiens 3,14 × 8² × 10 = 2009,6 cm³, quatre fois trop, car r est au carré. Divise d'abord le diamètre par 2, puis élève au carré.
Boîtes, tuyaux et réservoirs
Les cylindres sont partout : boîtes de conserve, bougies, tuyaux d'eau, réservoirs ronds et silos. La boîte de la carte précédente a un volume de 502,4 cm³, soit environ 0,5 dm³, donc elle contient à peu près un demi-litre. Les constructeurs découpent des formes compliquées en pavés et en cylindres pour estimer la quantité d'eau, de béton ou d'air qu'elles contiennent, et les sculpteurs font de même pour prévoir la matière d'une pièce.
Teste ce que tu as appris
Un cylindre a une base de rayon r et une hauteur h. Quelle expression donne son volume ?
- a) π × r² × h, l'aire de la base fois la hauteur
- b) π × r × h
- c) π × r²
- d) 2 × π × r × h
Bonne réponse: a) π × r² × h, l'aire de la base fois la hauteur — Oui : π × r² est l'aire de la base circulaire, répétée sur la hauteur h, comme dans un pavé.
Un socle est un pavé droit de 10 cm sur 10 cm sur 3 cm surmonté d'un cylindre (rayon 2 cm, hauteur 8 cm). Avec π ≈ 3,14, quel est le volume du socle entier ?
- a) 100,48 cm³
- b) 350,24 cm³
- c) 400,48 cm³
Bonne réponse: c) 400,48 cm³ — Oui : pavé 10 × 10 × 3 = 300, cylindre 3,14 × 2² × 8 = 100,48, et 300 + 100,48 = 400,48 cm³.
Une boîte a 6 cm de diamètre et 10 cm de hauteur. Avec π ≈ 3,14, quel est son volume ?
- a) 1130,4 cm³
- b) 282,6 cm³
- c) 94,2 cm³
Bonne réponse: b) 282,6 cm³ — Oui : r = 6 ÷ 2 = 3 cm, aire de la base 3,14 × 3² = 28,26 cm², et 28,26 × 10 = 282,6 cm³.
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