Matemática 7.º ano: Figuras semelhantes, razão de semelhança e homotetia
Matemática, 7.º ano (Portugal): Reconhece figuras com a mesma forma, calcula a razão de semelhança, constrói ampliações e reduções por homotetia e lê escalas de mapas.
Mesma forma, tamanho diferente
No dia a dia, «semelhante» quer dizer «parecido». Em Matemática tem uma regra exata: duas figuras são semelhantes quando uma é uma ampliação ou uma redução da outra, ou seja, têm a mesma forma. Os ângulos correspondentes são iguais e os comprimentos correspondentes ficam todos multiplicados pelo mesmo número k, a razão de semelhança (uma constante de proporcionalidade). O retângulo de 4 cm por 6 cm e o de 6 cm por 9 cm são semelhantes: 6 ÷ 4 = 9 ÷ 6 = 1,5. No sentido contrário, a razão é 4 ÷ 6 = 2/3, uma redução.
Como se constrói uma ampliação: a homotetia
Escolhe um ponto O, o centro, e um número k maior que 0. Para cada vértice P, marca P' na semirreta OP com OP' = k × OP. Depois liga os pontos P' pela mesma ordem. Com k = 2,5 e OA = 3 cm, fica OA' = 7,5 cm. Se k > 1 é uma ampliação, se k < 1 é uma redução. A imagem conserva os ângulos e todos os lados ficam multiplicados por k, por isso é semelhante à original, com razão de semelhança k.
Dois mapas do mesmo percurso
Um percurso mede 6 cm num mapa à escala 1:25 000. A escala diz que 1 cm no mapa são 25 000 cm no terreno. Distância real: 6 × 25 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Noutro mapa da mesma zona, à escala 1:100 000, o percurso mede 150 000 ÷ 100 000 = 1,5 cm. Os dois mapas são figuras semelhantes: o segundo é uma redução do primeiro com razão 1,5 ÷ 6 = 1/4, que é 25 000 ÷ 100 000. Uma escala é a razão de semelhança entre o mapa e o terreno.
A armadilha: somar em vez de multiplicar
Para ampliar um retângulo de 4 cm por 6 cm, parece natural juntar 2 cm a cada lado: 6 cm por 8 cm. Mas 6 ÷ 4 = 1,5 e 8 ÷ 6 ≈ 1,33: os lados não foram multiplicados pelo mesmo número, por isso o novo retângulo fica «esticado» e não é semelhante ao primeiro. O mesmo acontece quando alargas uma foto sem mudar a altura. E ter os mesmos ângulos não chega num retângulo: todos têm quatro ângulos retos e nem todos são semelhantes.
Onde vês isto fora da escola
Uma folha A3 é uma ampliação de uma A4: 21 × 29,7 cm passam a 29,7 × 42 cm, e 29,7 ÷ 21 ≈ 42 ÷ 29,7 ≈ 1,41, por isso as fotocopiadoras têm a opção 141 %. Plantas, maquetas, fotografias e mapas são semelhantes ao que representam. Ao aumentar o zoom de um mapa no telemóvel, mudas a escala, não a forma. E uma imagem esticada só numa direção deixa de ser semelhante: parece achatada.
Testa o que aprendeste
Qual das afirmações descreve duas figuras semelhantes?
- a) Têm a mesma área
- b) Têm o mesmo perímetro
- c) Têm o mesmo número de lados
- d) Uma é ampliação ou redução da outra: ângulos iguais e comprimentos correspondentes todos multiplicados pelo mesmo número
Resposta certa: d) Uma é ampliação ou redução da outra: ângulos iguais e comprimentos correspondentes todos multiplicados pelo mesmo número — Certo: mesma forma, qualquer tamanho. O número que multiplica os comprimentos é a razão de semelhança.
Um caminho mede 10 cm num mapa à escala 1:20 000. Quanto mede num mapa da mesma zona à escala 1:50 000?
- a) 25 cm
- b) 4 cm
- c) 2 km
Resposta certa: b) 4 cm — Certo: o comprimento real é 10 × 20 000 = 200 000 cm, e 200 000 ÷ 50 000 = 4 cm. A razão entre os mapas é 20 000 ÷ 50 000 = 2/5.
Um retângulo de 4 cm por 6 cm é «ampliado» juntando 2 cm a cada lado, ficando com 6 cm por 8 cm. Os dois retângulos são semelhantes?
- a) Sim, juntou-se o mesmo 2 cm a cada lado
- b) Sim, ambos têm quatro ângulos retos
- c) Não: 6 ÷ 4 = 1,5 mas 8 ÷ 6 ≈ 1,33, por isso os lados não foram multiplicados pelo mesmo número
- d) Não, porque as áreas são diferentes
Resposta certa: c) Não: 6 ÷ 4 = 1,5 mas 8 ÷ 6 ≈ 1,33, por isso os lados não foram multiplicados pelo mesmo número — Certo: o novo retângulo fica esticado. Uma ampliação verdadeira manteria a razão, por exemplo 6 por 9, com 1,5 nos dois lados.
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