Mathématiques 7e année : Figures semblables, rapport de similitude et homothétie
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Reconnais des figures de même forme, calcule le rapport de similitude, construis agrandissements et réductions par homothétie et lis des échelles de cartes.
Même forme, taille différente
Dans la vie courante, « semblable » veut dire « qui ressemble ». En mathématiques, la règle est exacte : deux figures sont semblables quand l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre, donc de même forme. Les angles correspondants sont égaux et les longueurs correspondantes sont toutes multipliées par le même nombre k, le rapport de similitude (une constante de proportionnalité). Le rectangle de 4 cm sur 6 cm et celui de 6 cm sur 9 cm sont semblables : 6 ÷ 4 = 9 ÷ 6 = 1,5. Dans l'autre sens, le rapport est 4 ÷ 6 = 2/3, une réduction.
Comment construire un agrandissement : l'homothétie
Choisis un point O, le centre, et un nombre k supérieur à 0. Pour chaque sommet P, place P' sur la demi-droite OP de façon que OP' = k × OP. Relie ensuite les points P' dans le même ordre. Avec k = 2,5 et OA = 3 cm, on obtient OA' = 7,5 cm. Si k > 1, c'est un agrandissement ; si k < 1, une réduction. L'image garde les angles et chaque côté est multiplié par k : elle est semblable à l'originale, avec k pour rapport de similitude.
Deux cartes du même parcours
Un parcours mesure 6 cm sur une carte à l'échelle 1:25 000. L'échelle dit que 1 cm sur la carte vaut 25 000 cm sur le terrain. Distance réelle : 6 × 25 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Sur une autre carte de la même zone à l'échelle 1:100 000, le parcours mesure 150 000 ÷ 100 000 = 1,5 cm. Les deux cartes sont des figures semblables : la seconde est une réduction de la première de rapport 1,5 ÷ 6 = 1/4, soit 25 000 ÷ 100 000. Une échelle est le rapport de similitude entre la carte et le terrain.
Le piège : additionner au lieu de multiplier
Pour agrandir un rectangle de 4 cm sur 6 cm, il semble naturel d'ajouter 2 cm à chaque côté : 6 cm sur 8 cm. Mais 6 ÷ 4 = 1,5 alors que 8 ÷ 6 ≈ 1,33 : les côtés n'ont pas été multipliés par le même nombre, le nouveau rectangle est « étiré » et n'est pas semblable au premier. La même chose arrive quand on élargit une photo sans changer sa hauteur. Et avoir les mêmes angles ne suffit pas pour un rectangle : tous ont quatre angles droits, mais ils ne sont pas tous semblables.
Où tu vois ça hors de l'école
Une feuille A3 est un agrandissement d'une feuille A4 : 21 × 29,7 cm deviennent 29,7 × 42 cm, et 29,7 ÷ 21 ≈ 42 ÷ 29,7 ≈ 1,41, d'où le réglage 141 % des photocopieuses. Plans, maquettes, photos et cartes sont semblables à ce qu'ils représentent. En zoomant sur une carte du téléphone, tu changes l'échelle, pas la forme. Et une image étirée dans une seule direction n'est plus semblable : elle paraît écrasée.
Teste ce que tu as appris
Quelle affirmation décrit deux figures semblables ?
- a) Elles ont la même aire
- b) Elles ont le même périmètre
- c) Elles ont le même nombre de côtés
- d) L'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : angles égaux et longueurs correspondantes toutes multipliées par le même nombre
Bonne réponse: d) L'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre : angles égaux et longueurs correspondantes toutes multipliées par le même nombre — Exact : même forme, taille quelconque. Le nombre qui multiplie les longueurs est le rapport de similitude.
Un chemin mesure 10 cm sur une carte à l'échelle 1:20 000. Combien mesure-t-il sur une carte de la même zone à l'échelle 1:50 000 ?
- a) 25 cm
- b) 4 cm
- c) 2 km
Bonne réponse: b) 4 cm — Exact : la longueur réelle est 10 × 20 000 = 200 000 cm, et 200 000 ÷ 50 000 = 4 cm. Le rapport entre les cartes est 20 000 ÷ 50 000 = 2/5.
Un rectangle de 4 cm sur 6 cm est « agrandi » en ajoutant 2 cm à chaque côté : 6 cm sur 8 cm. Les deux rectangles sont-ils semblables ?
- a) Oui, on a ajouté le même 2 cm à chaque côté
- b) Oui, les deux ont quatre angles droits
- c) Non : 6 ÷ 4 = 1,5 mais 8 ÷ 6 ≈ 1,33, donc les côtés n'ont pas été multipliés par le même nombre
- d) Non, parce que leurs aires sont différentes
Bonne réponse: c) Non : 6 ÷ 4 = 1,5 mais 8 ÷ 6 ≈ 1,33, donc les côtés n'ont pas été multipliés par le même nombre — Exact : le nouveau rectangle est étiré. Un vrai agrandissement garderait le rapport, par exemple 6 sur 9, avec 1,5 des deux côtés.
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