Matemáticas 7.º curso: Figuras semejantes, razón de semejanza y homotecia
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Reconoce figuras con la misma forma, calcula la razón de semejanza, construye ampliaciones y reducciones por homotecia y lee escalas de mapas.
La misma forma, distinto tamaño
En el habla de cada día, «semejante» significa «parecido». En matemáticas la regla es exacta: dos figuras son semejantes cuando una es una ampliación o una reducción de la otra, es decir, tienen la misma forma. Los ángulos correspondientes son iguales y las longitudes correspondientes quedan todas multiplicadas por el mismo número k, la razón de semejanza (una constante de proporcionalidad). El rectángulo de 4 cm por 6 cm y el de 6 cm por 9 cm son semejantes: 6 ÷ 4 = 9 ÷ 6 = 1,5. En sentido contrario, la razón es 4 ÷ 6 = 2/3, una reducción.
Cómo se construye una ampliación: la homotecia
Elige un punto O, el centro, y un número k mayor que 0. Para cada vértice P, marca P' en la semirrecta OP de modo que OP' = k × OP. Después une los puntos P' en el mismo orden. Con k = 2,5 y OA = 3 cm, sale OA' = 7,5 cm. Si k > 1 es una ampliación, si k < 1 es una reducción. La imagen conserva los ángulos y cada lado queda multiplicado por k, así que es semejante a la original, con razón de semejanza k.
Dos mapas del mismo recorrido
Un recorrido mide 6 cm en un mapa a escala 1:25 000. La escala dice que 1 cm en el mapa son 25 000 cm en el terreno. Distancia real: 6 × 25 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. En otro mapa de la misma zona a escala 1:100 000, el recorrido mide 150 000 ÷ 100 000 = 1,5 cm. Los dos mapas son figuras semejantes: el segundo es una reducción del primero con razón 1,5 ÷ 6 = 1/4, que es 25 000 ÷ 100 000. Una escala es la razón de semejanza entre el mapa y el terreno.
La trampa: sumar en vez de multiplicar
Para ampliar un rectángulo de 4 cm por 6 cm, parece natural añadir 2 cm a cada lado: 6 cm por 8 cm. Pero 6 ÷ 4 = 1,5 y 8 ÷ 6 ≈ 1,33: los lados no se multiplicaron por el mismo número, así que el nuevo rectángulo queda «estirado» y no es semejante al primero. Pasa lo mismo cuando ensanchas una foto sin cambiar su altura. Además, tener los mismos ángulos no basta en un rectángulo: todos tienen cuatro ángulos rectos y no todos son semejantes.
Dónde lo ves fuera de la escuela
Una hoja A3 es una ampliación de una A4: 21 × 29,7 cm pasan a 29,7 × 42 cm, y 29,7 ÷ 21 ≈ 42 ÷ 29,7 ≈ 1,41, por eso las fotocopiadoras ofrecen el 141 %. Los planos, las maquetas, las fotos y los mapas son semejantes a lo que representan. Al hacer zoom en un mapa del móvil cambias la escala, no la forma. Y una imagen estirada en una sola dirección deja de ser semejante: se ve aplastada.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Qué afirmación describe dos figuras semejantes?
- a) Tienen la misma área
- b) Tienen el mismo perímetro
- c) Tienen el mismo número de lados
- d) Una es ampliación o reducción de la otra: ángulos iguales y longitudes correspondientes todas multiplicadas por el mismo número
Respuesta correcta: d) Una es ampliación o reducción de la otra: ángulos iguales y longitudes correspondientes todas multiplicadas por el mismo número — Correcto: misma forma, cualquier tamaño. El número que multiplica las longitudes es la razón de semejanza.
Un camino mide 10 cm en un mapa a escala 1:20 000. ¿Cuánto mide en un mapa de la misma zona a escala 1:50 000?
- a) 25 cm
- b) 4 cm
- c) 2 km
Respuesta correcta: b) 4 cm — Correcto: la longitud real es 10 × 20 000 = 200 000 cm, y 200 000 ÷ 50 000 = 4 cm. La razón entre los mapas es 20 000 ÷ 50 000 = 2/5.
Un rectángulo de 4 cm por 6 cm se «amplía» añadiendo 2 cm a cada lado, y queda de 6 cm por 8 cm. ¿Son semejantes los dos rectángulos?
- a) Sí, se añadió el mismo 2 cm a cada lado
- b) Sí, los dos tienen cuatro ángulos rectos
- c) No: 6 ÷ 4 = 1,5 pero 8 ÷ 6 ≈ 1,33, así que los lados no se multiplicaron por el mismo número
- d) No, porque las áreas son distintas
Respuesta correcta: c) No: 6 ÷ 4 = 1,5 pero 8 ÷ 6 ≈ 1,33, así que los lados no se multiplicaron por el mismo número — Correcto: el nuevo rectángulo queda estirado. Una ampliación verdadera mantendría la razón, por ejemplo 6 por 9, con 1,5 en los dos lados.
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