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Mathematik Klasse 7: Ähnliche Figuren, Ähnlichkeitsfaktor und zentrische Streckung

Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Erkenne Figuren gleicher Form, bestimme den Ähnlichkeitsfaktor, konstruiere Vergrößerungen und Verkleinerungen durch zentrische Streckung und lies Kartenmaßstäbe.

Gleiche Form, andere Größe

Im Alltag bedeutet »ähnlich« so viel wie »gleichartig«. In der Mathematik ist die Regel genau: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen ist, sie also dieselbe Form haben. Entsprechende Winkel sind gleich, und entsprechende Längen werden alle mit derselben Zahl k multipliziert, dem Ähnlichkeitsfaktor (einer Proportionalitätskonstante). Das Rechteck 4 cm mal 6 cm und das Rechteck 6 cm mal 9 cm sind ähnlich: 6 ÷ 4 = 9 ÷ 6 = 1,5. In Gegenrichtung ist der Faktor 4 ÷ 6 = 2/3, eine Verkleinerung.

So entsteht eine Vergrößerung: die zentrische Streckung

Wähle einen Punkt O, das Streckzentrum, und eine Zahl k größer als 0. Markiere für jede Ecke P den Punkt P' auf dem Strahl OP so, dass OP' = k × OP. Verbinde dann die Punkte P' in derselben Reihenfolge. Mit k = 2,5 und OA = 3 cm erhältst du OA' = 7,5 cm. Bei k > 1 ist es eine Vergrößerung, bei k < 1 eine Verkleinerung. Das Bild behält die Winkel, und jede Seite wird mit k multipliziert; es ist also dem Original ähnlich, mit dem Ähnlichkeitsfaktor k.

Zwei Karten derselben Strecke

Eine Strecke misst auf einer Karte im Maßstab 1:25 000 6 cm. Der Maßstab sagt: 1 cm auf der Karte sind 25 000 cm im Gelände. Wirkliche Entfernung: 6 × 25 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Auf einer anderen Karte desselben Gebiets im Maßstab 1:100 000 misst die Strecke 150 000 ÷ 100 000 = 1,5 cm. Die beiden Karten sind ähnliche Figuren: Die zweite ist eine Verkleinerung der ersten mit dem Faktor 1,5 ÷ 6 = 1/4, also 25 000 ÷ 100 000. Ein Maßstab ist der Ähnlichkeitsfaktor zwischen Karte und Gelände.

Die Falle: addieren statt multiplizieren

Um ein Rechteck von 4 cm mal 6 cm zu vergrößern, liegt es nahe, jeder Seite 2 cm hinzuzufügen: 6 cm mal 8 cm. Doch 6 ÷ 4 = 1,5, aber 8 ÷ 6 ≈ 1,33: Die Seiten wurden nicht mit derselben Zahl multipliziert, das neue Rechteck ist gestreckt und dem ersten nicht ähnlich. Dasselbe passiert, wenn du ein Foto breiter ziehst, ohne die Höhe zu ändern. Und gleiche Winkel genügen beim Rechteck nicht: Alle haben vier rechte Winkel, aber nicht alle sind ähnlich.

Wo du das außerhalb der Schule siehst

Ein A3-Blatt ist eine Vergrößerung eines A4-Blatts: 21 × 29,7 cm werden zu 29,7 × 42 cm, und 29,7 ÷ 21 ≈ 42 ÷ 29,7 ≈ 1,41, weshalb Kopierer 141 % anbieten. Pläne, Modelle, Fotos und Karten sind dem ähnlich, was sie zeigen. Zoomst du auf dem Handy in eine Karte, änderst du den Maßstab, nicht die Form. Und ein Bild, das nur in eine Richtung gezogen wird, ist nicht mehr ähnlich: Es wirkt gequetscht.

Teste, was du gelernt hast

  1. Welche Aussage beschreibt zwei ähnliche Figuren?

    • a) Sie haben denselben Flächeninhalt
    • b) Sie haben denselben Umfang
    • c) Sie haben gleich viele Seiten
    • d) Die eine ist eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen: gleiche Winkel, alle entsprechenden Längen mit derselben Zahl multipliziert

    Richtige Antwort: d) Die eine ist eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen: gleiche Winkel, alle entsprechenden Längen mit derselben Zahl multipliziert — Richtig: gleiche Form, beliebige Größe. Die Zahl, die die Längen multipliziert, ist der Ähnlichkeitsfaktor.

  2. Ein Weg misst auf einer Karte im Maßstab 1:20 000 10 cm. Wie lang ist er auf einer Karte desselben Gebiets im Maßstab 1:50 000?

    • a) 25 cm
    • b) 4 cm
    • c) 2 km

    Richtige Antwort: b) 4 cm — Richtig: Die wahre Länge ist 10 × 20 000 = 200 000 cm, und 200 000 ÷ 50 000 = 4 cm. Das Verhältnis der Karten ist 20 000 ÷ 50 000 = 2/5.

  3. Ein Rechteck von 4 cm mal 6 cm wird »vergrößert«, indem jede Seite 2 cm länger wird: 6 cm mal 8 cm. Sind die beiden Rechtecke ähnlich?

    • a) Ja, jeder Seite wurden dieselben 2 cm hinzugefügt
    • b) Ja, beide haben vier rechte Winkel
    • c) Nein: 6 ÷ 4 = 1,5, aber 8 ÷ 6 ≈ 1,33, die Seiten wurden also nicht mit derselben Zahl multipliziert
    • d) Nein, weil ihre Flächeninhalte verschieden sind

    Richtige Antwort: c) Nein: 6 ÷ 4 = 1,5, aber 8 ÷ 6 ≈ 1,33, die Seiten wurden also nicht mit derselben Zahl multipliziert — Richtig: Das neue Rechteck ist gestreckt. Eine echte Vergrößerung behielte das Verhältnis, etwa 6 mal 9, mit 1,5 auf beiden Seiten.

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