Matematica classe 7: Figure simili, rapporto di similitudine e omotetia
Matematica, classe 7 (Portogallo): Riconosci figure con la stessa forma, calcola il rapporto di similitudine, costruisci ingrandimenti e riduzioni con l'omotetia e leggi le scale delle carte.
Stessa forma, dimensione diversa
Nel linguaggio di tutti i giorni «simile» vuol dire «somigliante». In matematica la regola è precisa: due figure sono simili quando una è un ingrandimento o una riduzione dell'altra, cioè hanno la stessa forma. Gli angoli corrispondenti sono uguali e le lunghezze corrispondenti sono tutte moltiplicate per lo stesso numero k, il rapporto di similitudine (una costante di proporzionalità). Il rettangolo di 4 cm per 6 cm e quello di 6 cm per 9 cm sono simili: 6 ÷ 4 = 9 ÷ 6 = 1,5. Nel senso opposto il rapporto è 4 ÷ 6 = 2/3, una riduzione.
Come si costruisce un ingrandimento: l'omotetia
Scegli un punto O, il centro, e un numero k maggiore di 0. Per ogni vertice P, segna P' sulla semiretta OP in modo che OP' = k × OP. Poi unisci i punti P' nello stesso ordine. Con k = 2,5 e OA = 3 cm, si ottiene OA' = 7,5 cm. Se k > 1 è un ingrandimento, se k < 1 una riduzione. L'immagine conserva gli angoli e ogni lato è moltiplicato per k, quindi è simile all'originale, con rapporto di similitudine k.
Due carte dello stesso percorso
Un percorso misura 6 cm su una carta in scala 1:25 000. La scala dice che 1 cm sulla carta sono 25 000 cm sul terreno. Distanza reale: 6 × 25 000 = 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Su un'altra carta della stessa zona in scala 1:100 000, il percorso misura 150 000 ÷ 100 000 = 1,5 cm. Le due carte sono figure simili: la seconda è una riduzione della prima con rapporto 1,5 ÷ 6 = 1/4, cioè 25 000 ÷ 100 000. Una scala è il rapporto di similitudine tra la carta e il terreno.
La trappola: sommare invece di moltiplicare
Per ingrandire un rettangolo di 4 cm per 6 cm, sembra naturale aggiungere 2 cm a ogni lato: 6 cm per 8 cm. Ma 6 ÷ 4 = 1,5 mentre 8 ÷ 6 ≈ 1,33: i lati non sono stati moltiplicati per lo stesso numero, quindi il nuovo rettangolo è «stirato» e non è simile al primo. Succede lo stesso quando allarghi una foto senza cambiarne l'altezza. E avere gli stessi angoli non basta per un rettangolo: tutti hanno quattro angoli retti, ma non sono tutti simili.
Dove lo vedi fuori dalla scuola
Un foglio A3 è un ingrandimento di un foglio A4: 21 × 29,7 cm diventano 29,7 × 42 cm, e 29,7 ÷ 21 ≈ 42 ÷ 29,7 ≈ 1,41, per questo le fotocopiatrici offrono il 141 %. Piante, plastici, foto e carte sono simili a ciò che rappresentano. Quando fai zoom su una mappa dello smartphone cambi la scala, non la forma. E un'immagine stirata in una sola direzione non è più simile: sembra schiacciata.
Metti alla prova quello che hai imparato
Quale affermazione descrive due figure simili?
- a) Hanno la stessa area
- b) Hanno lo stesso perimetro
- c) Hanno lo stesso numero di lati
- d) Una è un ingrandimento o una riduzione dell'altra: angoli uguali e lunghezze corrispondenti tutte moltiplicate per lo stesso numero
Risposta corretta: d) Una è un ingrandimento o una riduzione dell'altra: angoli uguali e lunghezze corrispondenti tutte moltiplicate per lo stesso numero — Giusto: stessa forma, qualunque dimensione. Il numero che moltiplica le lunghezze è il rapporto di similitudine.
Un sentiero misura 10 cm su una carta in scala 1:20 000. Quanto misura su una carta della stessa zona in scala 1:50 000?
- a) 25 cm
- b) 4 cm
- c) 2 km
Risposta corretta: b) 4 cm — Giusto: la lunghezza reale è 10 × 20 000 = 200 000 cm, e 200 000 ÷ 50 000 = 4 cm. Il rapporto tra le carte è 20 000 ÷ 50 000 = 2/5.
Un rettangolo di 4 cm per 6 cm viene «ingrandito» aggiungendo 2 cm a ogni lato: 6 cm per 8 cm. I due rettangoli sono simili?
- a) Sì, è stato aggiunto lo stesso 2 cm a ogni lato
- b) Sì, entrambi hanno quattro angoli retti
- c) No: 6 ÷ 4 = 1,5 ma 8 ÷ 6 ≈ 1,33, quindi i lati non sono stati moltiplicati per lo stesso numero
- d) No, perché le aree sono diverse
Risposta corretta: c) No: 6 ÷ 4 = 1,5 ma 8 ÷ 6 ≈ 1,33, quindi i lati non sono stati moltiplicati per lo stesso numero — Giusto: il nuovo rettangolo è stirato. Un vero ingrandimento manterrebbe il rapporto, per esempio 6 per 9, con 1,5 su entrambi i lati.
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