Matemática 6.º ano: Triângulos: soma dos ângulos internos e externos
Matemática, 6.º ano (Portugal): Conjetura, a partir de recortes, que os ângulos internos somam 180° e os externos 360°, explica porquê e usa isso em problemas com triângulos.
Recortar os cantos de um triângulo
Desenha um triângulo qualquer, pinta os três cantos e recorta-os. Junta-os lado a lado, com os vértices no mesmo ponto: formam sempre um ângulo raso. Conjetura: os ângulos internos de um triângulo somam 180°. Agora o ângulo externo de um vértice: o ângulo entre um lado e o prolongamento do outro lado que aí termina. Com um externo em cada vértice, ao recortá-los e juntá-los formam uma volta completa: 360°. Um ângulo externo e o interno do mesmo vértice são suplementares.
Porque é que os externos dão 360° e o que isso proíbe
Cada ângulo externo é suplementar do interno do mesmo vértice: externo = 180° − interno. Somando os três: 3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°. Por isso, se os internos somam 180°, os externos somam 360°: as duas conjeturas explicam-se uma à outra. E os 180° são um orçamento curto: um triângulo não pode ter dois ângulos retos nem um reto e um obtuso, porque já gastavam 180° ou mais. Logo, nenhum triângulo é retângulo e obtusângulo ao mesmo tempo.
Um caso: dois ângulos conhecidos
Um triângulo tem ângulos internos de 50° e 65°. O terceiro: 180° − (50° + 65°) = 180° − 115° = 65°. Os externos: 180° − 50° = 130°, 180° − 65° = 115° e 115°; a soma é 130° + 115° + 115° = 360°. Os três ângulos são agudos, logo é um triângulo acutângulo. Outro caso: um triângulo retângulo e isósceles. Os dois ângulos iguais somam 180° − 90° = 90°, por isso cada um mede 90° ÷ 2 = 45°.
A armadilha: a soma não depende do tamanho
O tamanho não muda a soma: um triângulo minúsculo e um enorme somam ambos 180°. Se mediste 178° ou 183° com o transferidor, não descobriste uma exceção: é o erro da medição, e a soma exata é 180°. Outro engano: contar dois ângulos externos por vértice. Conta um por vértice: 360°; se contasses os dois (são iguais), darias 720°.
Onde vês isto fora da escola
Os dois esquadros do material de geometria têm ângulos de 45°, 45°, 90° e de 30°, 60°, 90°: em cada um, a soma é 180°. Um triângulo equilátero tem os três ângulos iguais, logo cada um mede 180° ÷ 3 = 60°. Quem constrói uma estrutura de triângulos pode calcular o terceiro ângulo a partir dos outros dois, sem transferidor, e conferir o trabalho: se os três não somarem 180°, algo foi medido mal.
Testa o que aprendeste
Recortas os três cantos de um triângulo e juntas-os lado a lado, com os vértices num ponto. Que ângulo formam?
- a) Um ângulo reto, 90°
- b) Um ângulo raso, 180°
- c) Uma volta completa, 360°
- d) Depende do triângulo
Resposta certa: b) Um ângulo raso, 180° — Sim: os três cantos encaixam num ângulo raso. Isso sugere que os ângulos internos de qualquer triângulo somam 180°.
Um triângulo tem dois ângulos internos de 72° e 38°. Quanto mede o ângulo externo no vértice do terceiro ângulo?
- a) 110°
- b) 70°
- c) 250°
- d) 290°
Resposta certa: a) 110° — Sim: o terceiro ângulo interno é 180° − 110° = 70°, e o seu externo é 180° − 70° = 110°.
A Ana mede com o transferidor os ângulos de um triângulo grande e obtém 179° no total. Qual é a melhor conclusão?
- a) Os triângulos grandes têm soma menor do que os pequenos
- b) Este triângulo é uma exceção à regra
- c) Um pequeno erro de medição: a soma exata é 180°
- d) A regra dos 180° só vale para triângulos equiláteros
Resposta certa: c) Um pequeno erro de medição: a soma exata é 180° — Certo: as medidas nunca são perfeitas e 179° está perto de 180°. A soma exata de qualquer triângulo é 180°.
Continua a explorar
Outras línguas
A carregar o MyLeoNes™…