Matemáticas 6.º curso: Triángulos: suma de los ángulos interiores y exteriores
Matemáticas, 6.º curso (Portugal): Conjetura, a partir de recortes, que los ángulos interiores suman 180° y los exteriores 360°, explica por qué y úsalo en problemas con triángulos.
Recortar las esquinas de un triángulo
Dibuja un triángulo cualquiera, colorea sus tres esquinas y recórtalas. Júntalas una al lado de otra, con los vértices en el mismo punto: siempre forman un ángulo llano. Conjetura: los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. Ahora el ángulo exterior en un vértice: el ángulo entre un lado y la prolongación del otro lado que allí termina. Con un exterior en cada vértice, al recortarlos y juntarlos forman una vuelta completa: 360°. Un ángulo exterior y el interior del mismo vértice son suplementarios.
Por qué los exteriores dan 360° y qué descarta eso
Cada ángulo exterior es suplementario del interior del mismo vértice: exterior = 180° − interior. Sumando los tres: 3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°. Por eso, si los interiores suman 180°, los exteriores suman 360°: las dos conjeturas se explican una a otra. Y los 180° son un presupuesto corto: un triángulo no puede tener dos ángulos rectos ni uno recto y uno obtuso, porque ya gastarían 180° o más. Así que ningún triángulo es a la vez rectángulo y obtusángulo.
Un caso: dos ángulos conocidos
Un triángulo tiene ángulos interiores de 50° y 65°. El tercero: 180° − (50° + 65°) = 180° − 115° = 65°. Los exteriores: 180° − 50° = 130°, 180° − 65° = 115° y 115°; la suma es 130° + 115° + 115° = 360°. Los tres ángulos son agudos, así que es un triángulo acutángulo. Otro caso: un triángulo rectángulo e isósceles. Los dos ángulos iguales suman 180° − 90° = 90°, por eso cada uno mide 90° ÷ 2 = 45°.
La trampa: la suma no depende del tamaño
El tamaño no cambia la suma: un triángulo diminuto y uno enorme suman ambos 180°. Si mediste 178° o 183° con el transportador, no has descubierto una excepción: es error de medición, y la suma exacta es 180°. Otro despiste: contar dos ángulos exteriores por vértice. Cuenta uno por vértice: 360°; si contaras los dos (son iguales), saldrían 720°.
Dónde lo ves fuera de la escuela
Las dos escuadras del material de geometría tienen ángulos de 45°, 45°, 90° y de 30°, 60°, 90°: en cada una, la suma es 180°. Un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales, así que cada uno mide 180° ÷ 3 = 60°. Quien construye una estructura de triángulos puede hallar el tercer ángulo a partir de los otros dos, sin transportador, y comprobar el trabajo: si los tres no suman 180°, algo se midió mal.
Pon a prueba lo que has aprendido
Recortas las tres esquinas de un triángulo y las juntas una al lado de otra, con los vértices en un punto. ¿Qué ángulo forman?
- a) Un ángulo recto, 90°
- b) Un ángulo llano, 180°
- c) Una vuelta completa, 360°
- d) Depende del triángulo
Respuesta correcta: b) Un ángulo llano, 180° — Sí: las tres esquinas encajan en un ángulo llano. Eso sugiere que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°.
Un triángulo tiene dos ángulos interiores de 72° y 38°. ¿Cuánto mide el ángulo exterior en el vértice del tercer ángulo?
- a) 110°
- b) 70°
- c) 250°
- d) 290°
Respuesta correcta: a) 110° — Sí: el tercer ángulo interior es 180° − 110° = 70°, y su exterior es 180° − 70° = 110°.
Ana mide con el transportador los ángulos de un triángulo grande y obtiene 179° en total. ¿Cuál es la mejor conclusión?
- a) Los triángulos grandes tienen una suma menor que los pequeños
- b) Este triángulo es una excepción a la regla
- c) Un pequeño error de medición: la suma exacta es 180°
- d) La regla de los 180° solo vale para triángulos equiláteros
Respuesta correcta: c) Un pequeño error de medición: la suma exacta es 180° — Correcto: las medidas nunca son perfectas y 179° está cerca de 180°. La suma exacta de cualquier triángulo es 180°.
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