Matematica classe 6: Triangoli: somma degli angoli interni ed esterni
Matematica, classe 6 (Portogallo): Congettura, con dei ritagli, che gli angoli interni sommano 180° e quelli esterni 360°, spiega perché e usalo nei problemi con i triangoli.
Ritagliare gli angoli di un triangolo
Disegna un triangolo qualsiasi, colora i tre angoli e ritagliali. Mettili uno accanto all'altro, con i vertici nello stesso punto: formano sempre un angolo piatto. Congettura: gli angoli interni di un triangolo sommano 180°. Ora l'angolo esterno in un vertice: l'angolo tra un lato e il prolungamento dell'altro lato che vi termina. Con un esterno per vertice, ritagliandoli e unendoli formano un giro completo: 360°. Un angolo esterno e l'angolo interno dello stesso vertice sono supplementari.
Perché gli esterni fanno 360° e cosa esclude
Ogni angolo esterno è supplementare dell'angolo interno dello stesso vertice: esterno = 180° − interno. Sommando i tre: 3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°. Perciò, se gli interni sommano 180°, gli esterni sommano 360°: le due congetture si spiegano a vicenda. E 180° è un budget corto: un triangolo non può avere due angoli retti, né uno retto e uno ottuso, perché userebbero già 180° o più. Quindi nessun triangolo è insieme rettangolo e ottusangolo.
Un caso: due angoli noti
Un triangolo ha angoli interni di 50° e 65°. Il terzo: 180° − (50° + 65°) = 180° − 115° = 65°. Gli esterni: 180° − 50° = 130°, 180° − 65° = 115° e 115°; la somma è 130° + 115° + 115° = 360°. I tre angoli sono acuti, quindi è un triangolo acutangolo. Un altro caso: un triangolo rettangolo e isoscele. I due angoli uguali sommano 180° − 90° = 90°, perciò ciascuno misura 90° ÷ 2 = 45°.
La trappola: la somma non dipende dalla grandezza
La grandezza non cambia la somma: un triangolo minuscolo e uno enorme sommano entrambi 180°. Se hai misurato 178° o 183° con il goniometro, non hai trovato un'eccezione: è errore di misura, e la somma esatta è 180°. Un altro errore: contare due angoli esterni per vertice. Contane uno per vertice: 360°; se contassi entrambi (sono uguali), otterresti 720°.
Dove lo vedi fuori dalla scuola
Le due squadre del materiale di geometria hanno angoli di 45°, 45°, 90° e di 30°, 60°, 90°: in ciascuna la somma è 180°. Un triangolo equilatero ha i tre angoli uguali, quindi ciascuno misura 180° ÷ 3 = 60°. Chi costruisce una struttura di triangoli può trovare il terzo angolo dagli altri due, senza goniometro, e controllare il lavoro: se i tre non sommano 180°, qualcosa è stato misurato male.
Metti alla prova quello che hai imparato
Ritagli i tre angoli di un triangolo e li metti affiancati, con i vertici in un punto. Che angolo formano?
- a) Un angolo retto, 90°
- b) Un angolo piatto, 180°
- c) Un giro completo, 360°
- d) Dipende dal triangolo
Risposta corretta: b) Un angolo piatto, 180° — Sì: i tre angoli si incastrano in un angolo piatto. Questo suggerisce che gli angoli interni di ogni triangolo sommano 180°.
Un triangolo ha due angoli interni di 72° e 38°. Quanto misura l'angolo esterno nel vertice del terzo angolo?
- a) 110°
- b) 70°
- c) 250°
- d) 290°
Risposta corretta: a) 110° — Sì: il terzo angolo interno è 180° − 110° = 70°, e il suo esterno è 180° − 70° = 110°.
Ana misura con il goniometro gli angoli di un triangolo grande e ottiene 179° in tutto. Qual è la conclusione migliore?
- a) I triangoli grandi hanno somma minore di quelli piccoli
- b) Questo triangolo è un'eccezione alla regola
- c) Un piccolo errore di misura: la somma esatta è 180°
- d) La regola dei 180° vale solo per i triangoli equilateri
Risposta corretta: c) Un piccolo errore di misura: la somma esatta è 180° — Giusto: le misure non sono mai perfette e 179° è vicino a 180°. La somma esatta di qualsiasi triangolo è 180°.
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