Mathématiques 6e année : Triangles : somme des angles intérieurs et extérieurs
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Conjecture, à partir de découpages, que les angles intérieurs font 180° et les extérieurs 360°, explique pourquoi et utilise-le dans des problèmes.
Découper les coins d'un triangle
Dessine un triangle quelconque, colorie ses trois coins et découpe-les. Mets-les côte à côte, les sommets au même point : ils forment toujours un angle plat. Conjecture : les angles intérieurs d'un triangle font 180° en tout. Voici maintenant l'angle extérieur en un sommet : l'angle entre un côté et le prolongement de l'autre côté qui y aboutit. Avec un angle extérieur à chaque sommet, une fois découpés et rapprochés, ils forment un tour complet : 360°. Un angle extérieur et l'angle intérieur du même sommet sont supplémentaires.
Pourquoi les extérieurs font 360° et ce que cela interdit
Chaque angle extérieur est supplémentaire de l'angle intérieur du même sommet : extérieur = 180° − intérieur. En additionnant les trois : 3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°. Donc, si les angles intérieurs font 180°, les extérieurs font 360° : les deux conjectures s'expliquent l'une l'autre. Et 180° est un budget court : un triangle ne peut avoir deux angles droits, ni un droit et un obtus, car ils useraient déjà 180° ou plus. Aucun triangle n'est donc à la fois rectangle et obtusangle.
Un cas : deux angles connus
Un triangle a des angles intérieurs de 50° et 65°. Le troisième : 180° − (50° + 65°) = 180° − 115° = 65°. Les extérieurs : 180° − 50° = 130°, 180° − 65° = 115° et 115° ; la somme est 130° + 115° + 115° = 360°. Les trois angles sont aigus : c'est un triangle acutangle. Autre cas : un triangle rectangle isocèle. Les deux angles égaux font ensemble 180° − 90° = 90°, donc chacun mesure 90° ÷ 2 = 45°.
Le piège : la somme ne dépend pas de la taille
La taille ne change pas la somme : un tout petit triangle et un énorme font tous deux 180°. Si tu as mesuré 178° ou 183° au rapporteur, tu n'as pas trouvé d'exception : c'est l'erreur de mesure, et la somme exacte est 180°. Autre erreur : compter deux angles extérieurs par sommet. Compte-en un par sommet : 360° ; si tu comptais les deux (ils sont égaux), tu obtiendrais 720°.
Où tu le vois en dehors de l'école
Les deux équerres d'une trousse de géométrie ont des angles de 45°, 45°, 90° et de 30°, 60°, 90° : dans chacune, la somme est 180°. Un triangle équilatéral a trois angles égaux, donc chacun mesure 180° ÷ 3 = 60°. Qui construit une structure de triangles peut trouver le troisième angle à partir des deux autres, sans rapporteur, et vérifier son travail : si les trois ne font pas 180°, quelque chose a été mal mesuré.
Teste ce que tu as appris
Tu découpes les trois coins d'un triangle et tu les mets côte à côte, les sommets en un point. Quel angle forment-ils ?
- a) Un angle droit, 90°
- b) Un angle plat, 180°
- c) Un tour complet, 360°
- d) Cela dépend du triangle
Bonne réponse: b) Un angle plat, 180° — Oui : les trois coins s'ajustent en un angle plat. Cela suggère que les angles intérieurs de tout triangle font 180°.
Un triangle a deux angles intérieurs de 72° et 38°. Combien mesure l'angle extérieur au sommet du troisième angle ?
- a) 110°
- b) 70°
- c) 250°
- d) 290°
Bonne réponse: a) 110° — Oui : le troisième angle intérieur est 180° − 110° = 70°, et son extérieur est 180° − 70° = 110°.
Ana mesure au rapporteur les angles d'un grand triangle et obtient 179° au total. Quelle est la meilleure conclusion ?
- a) Les grands triangles ont une somme plus petite que les petits
- b) Ce triangle est une exception à la règle
- c) Une petite erreur de mesure : la somme exacte est 180°
- d) La règle des 180° ne vaut que pour les triangles équilatéraux
Bonne réponse: c) Une petite erreur de mesure : la somme exacte est 180° — Exact : les mesures ne sont jamais parfaites et 179° est proche de 180°. La somme exacte de tout triangle est 180°.
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