Mathematik Klasse 6: Dreiecke: Summe der Innen- und Außenwinkel
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Vermute anhand von Ausschnitten, dass die Innenwinkel 180° und die Außenwinkel 360° ergeben, erkläre warum und nutze es in Dreiecksaufgaben.
Die Ecken eines Dreiecks abschneiden
Zeichne ein beliebiges Dreieck, färbe seine drei Ecken und schneide sie ab. Leg sie nebeneinander, die Scheitel im selben Punkt: Sie bilden immer einen gestreckten Winkel. Vermutung: Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°. Nun der Außenwinkel an einer Ecke: der Winkel zwischen einer Seite und der Verlängerung der anderen Seite, die dort endet. Nimmst du an jeder Ecke einen Außenwinkel, ausgeschnitten und zusammengelegt, bilden sie eine ganze Drehung: 360°. Ein Außenwinkel und der Innenwinkel derselben Ecke sind Supplementwinkel.
Warum die Außenwinkel 360° ergeben und was das ausschließt
Jeder Außenwinkel ist Supplementwinkel des Innenwinkels an derselben Ecke: außen = 180° − innen. Alle drei addiert: 3 × 180° − 180° = 540° − 180° = 360°. Ergeben also die Innenwinkel 180°, ergeben die Außenwinkel 360°: Die beiden Vermutungen erklären einander. Und 180° sind ein knappes Budget: Ein Dreieck kann nicht zwei rechte Winkel haben, auch nicht einen rechten und einen stumpfen, denn sie würden schon 180° oder mehr verbrauchen. Also ist kein Dreieck zugleich rechtwinklig und stumpfwinklig.
Ein Beispiel: zwei bekannte Winkel
Ein Dreieck hat Innenwinkel von 50° und 65°. Der dritte: 180° − (50° + 65°) = 180° − 115° = 65°. Die Außenwinkel: 180° − 50° = 130°, 180° − 65° = 115° und 115°; die Summe ist 130° + 115° + 115° = 360°. Alle drei Winkel sind spitz, also ist es ein spitzwinkliges Dreieck. Ein weiterer Fall: ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck. Die zwei gleichen Winkel ergeben zusammen 180° − 90° = 90°, also misst jeder 90° : 2 = 45°.
Die Falle: die Summe hängt nicht von der Größe ab
Die Größe ändert die Summe nicht: Ein winziges und ein riesiges Dreieck ergeben beide 180°. Hast du mit dem Winkelmesser 178° oder 183° gemessen, hast du keine Ausnahme gefunden: Es ist Messfehler, die genaue Summe ist 180°. Ein weiterer Ausrutscher: an jeder Ecke zwei Außenwinkel zählen. Zähle einen pro Ecke: 360°; würdest du beide zählen (sie sind gleich), kämst du auf 720°.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Die beiden Zeichendreiecke im Geometrie-Set haben die Winkel 45°, 45°, 90° und 30°, 60°, 90°: In jedem ist die Summe 180°. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Winkel, also misst jeder 180° : 3 = 60°. Wer ein Gerüst aus Dreiecken baut, kann den dritten Winkel aus den anderen beiden ohne Winkelmesser bestimmen und die Arbeit prüfen: Ergeben die drei nicht 180°, wurde etwas falsch gemessen.
Teste, was du gelernt hast
Du schneidest die drei Ecken eines Dreiecks ab und legst sie nebeneinander, die Scheitel in einem Punkt. Welchen Winkel bilden sie?
- a) Einen rechten Winkel, 90°
- b) Einen gestreckten Winkel, 180°
- c) Eine ganze Drehung, 360°
- d) Das hängt vom Dreieck ab
Richtige Antwort: b) Einen gestreckten Winkel, 180° — Ja: Die drei Ecken passen zu einem gestreckten Winkel. Das legt nahe, dass die Innenwinkel jedes Dreiecks 180° ergeben.
Ein Dreieck hat zwei Innenwinkel von 72° und 38°. Wie groß ist der Außenwinkel an der Ecke des dritten Winkels?
- a) 110°
- b) 70°
- c) 250°
- d) 290°
Richtige Antwort: a) 110° — Ja: Der dritte Innenwinkel ist 180° − 110° = 70°, sein Außenwinkel 180° − 70° = 110°.
Ana misst mit dem Winkelmesser die Winkel eines großen Dreiecks und erhält insgesamt 179°. Was ist der beste Schluss?
- a) Große Dreiecke haben eine kleinere Summe als kleine
- b) Dieses Dreieck ist eine Ausnahme von der Regel
- c) Ein kleiner Messfehler: Die genaue Summe ist 180°
- d) Die 180°-Regel gilt nur für gleichseitige Dreiecke
Richtige Antwort: c) Ein kleiner Messfehler: Die genaue Summe ist 180° — Richtig: Gemessene Winkel sind nie perfekt, und 179° liegt nahe bei 180°. Die genaue Summe jedes Dreiecks ist 180°.
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