Conjeturar, testar e justificar — Matemática, 11–13
Descobrir um padrão, formular uma conjetura e perceber que testar casos não é validar — com contraexemplos e outras formas de justificar.
Uma conjetura é um palpite fundamentado
Uma conjetura é uma afirmação em que acreditas porque viste um padrão. 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41: a soma de dois números consecutivos parece ser sempre ímpar. Classificar ajuda a ver padrões: em 12, 18, 24, 30, 36 e 45, cinco são múltiplos de 6 e o 45 é o intruso. Depois vem o mais importante: testas a conjetura em casos e, mais tarde, validas-a. São duas coisas diferentes.
Testar não chega: quatro formas de justificar
Testar é experimentar casos; validar é mostrar que a afirmação vale para todos, ou que falha num. Há formas diferentes de justificar. Contraexemplo: «todos os números primos são ímpares» é falso, porque o 2 é primo e par. Exaustão: verificar todos os casos possíveis (os múltiplos de 6 até 20 são 6, 12 e 18, todos pares). Exemplo genérico: um argumento que não depende do número escolhido. Coerência lógica: par + ímpar dá ímpar. Cada forma serve melhor um tipo de afirmação.
Um caso: a soma de dois números consecutivos
Conjetura: a soma de dois números consecutivos é ímpar. Testes: 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41, 99 + 100 = 199, todos ímpares — mas isto só testa. Para validar, usa-se um exemplo genérico: 14 + 15 = 14 + 14 + 1 = 2 × 14 + 1, o dobro de um número mais 1. O dobro de um número é par e mais 1 é ímpar. Nada disto depende do 14: com uma letra, n + (n + 1) = 2 × n + 1. Logo é verdade para qualquer par de números consecutivos.
«Passou em três testes, logo é verdade»
O Rui reparou que 3, 13 e 23 são primos (um número primo só tem dois divisores: 1 e ele próprio). A sua conjetura: todo o número que termina em 3 é primo. Experimentou mais um, o 33. Mas 33 = 3 × 11, tem mais divisores. Um único contraexemplo deita abaixo uma conjetura, por muitos testes que tenha passado. Como evitar a armadilha: procura de propósito o caso difícil e pergunta «porque haveria de ser sempre assim?».
Onde se vê: «sempre» e «nunca»
Sempre que ouves «todos», «sempre» ou «nunca», estás perante uma conjetura. «Todos os múltiplos de 5 terminam em 5»? Vê 5, 10, 15, 20: o 10 é um contraexemplo, por isso é falso. Para confirmar uma afirmação precisas de uma razão que cubra todos os casos. Quem faz jogos e aplicações faz o mesmo: experimenta valores estranhos (0, 1, o maior possível) precisamente para caçar o contraexemplo.
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