Conjecturer, tester et justifier — Mathématiques, 11–13
Repérer une régularité, formuler une conjecture et comprendre que tester des cas n'est pas valider — avec des contre-exemples et d'autres façons de justifier.
Une conjecture est une intuition fondée
Une conjecture est une affirmation à laquelle tu crois parce que tu as vu une régularité. 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41 : la somme de deux nombres consécutifs semble toujours impaire. Classer aide à voir des régularités : dans 12, 18, 24, 30, 36 et 45, cinq sont des multiples de 6 et 45 est l'intrus. Vient ensuite l'essentiel : tu testes la conjecture sur des cas et, plus tard, tu la valides. Ce sont deux choses différentes.
Tester ne suffit pas : quatre façons de justifier
Tester, c'est essayer des cas ; valider, c'est montrer que l'affirmation vaut pour tous, ou qu'elle échoue dans un. Il y a plusieurs façons de justifier. Contre-exemple : « tous les nombres premiers sont impairs » est faux, car 2 est premier et pair. Exhaustion : vérifier tous les cas possibles (les multiples de 6 jusqu'à 20 sont 6, 12 et 18, tous pairs). Exemple générique : un argument qui ne dépend pas du nombre choisi. Cohérence logique : pair + impair donne impair. Chaque façon convient à un type d'affirmation.
Un cas : la somme de deux nombres consécutifs
Conjecture : la somme de deux nombres consécutifs est impaire. Tests : 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41, 99 + 100 = 199, tous impairs — mais cela ne fait que tester. Pour valider, on utilise un exemple générique : 14 + 15 = 14 + 14 + 1 = 2 × 14 + 1, le double d'un nombre plus 1. Le double d'un nombre est pair et, plus 1, il est impair. Rien de cela ne dépend de 14 : avec une lettre, n + (n + 1) = 2 × n + 1. C'est donc vrai pour tout couple de nombres consécutifs.
« Elle a passé trois tests, donc elle est vraie »
Rui a remarqué que 3, 13 et 23 sont premiers (un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même). Sa conjecture : tout nombre qui se termine par 3 est premier. Il en a essayé un de plus, 33. Mais 33 = 3 × 11, il a d'autres diviseurs. Un seul contre-exemple renverse une conjecture, même si elle a passé beaucoup de tests. Pour éviter le piège : cherche exprès le cas difficile et demande-toi « pourquoi serait-ce toujours ainsi ? ».
Où on le voit : « toujours » et « jamais »
Chaque fois que tu entends « tous », « toujours » ou « jamais », tu es devant une conjecture. « Tous les multiples de 5 se terminent par 5 » ? Regarde 5, 10, 15, 20 : 10 est un contre-exemple, donc c'est faux. Pour confirmer une affirmation, il faut une raison qui couvre tous les cas. Ceux qui font des jeux et des applications font pareil : ils essaient des valeurs bizarres (0, 1, la plus grande possible) justement pour traquer le contre-exemple.
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