Conjeturar, comprobar y justificar — Matemáticas, 11–13
Descubrir un patrón, formular una conjetura y entender que comprobar casos no es validar — con contraejemplos y otras formas de justificar.
Una conjetura es una corazonada fundada
Una conjetura es una afirmación en la que crees porque viste un patrón. 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41: la suma de dos números consecutivos parece ser siempre impar. Clasificar ayuda a ver patrones: en 12, 18, 24, 30, 36 y 45, cinco son múltiplos de 6 y el 45 es el intruso. Después viene lo importante: pruebas la conjetura en casos y, más tarde, la validas. Son dos cosas distintas.
Probar no basta: cuatro formas de justificar
Probar es ensayar casos; validar es mostrar que la afirmación vale para todos, o que falla en uno. Hay formas distintas de justificar. Contraejemplo: «todos los números primos son impares» es falso, porque el 2 es primo y par. Exhaustión: comprobar todos los casos posibles (los múltiplos de 6 hasta 20 son 6, 12 y 18, todos pares). Ejemplo genérico: un argumento que no depende del número elegido. Coherencia lógica: par + impar da impar. Cada forma sirve mejor a un tipo de afirmación.
Un caso: la suma de dos números consecutivos
Conjetura: la suma de dos números consecutivos es impar. Pruebas: 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41, 99 + 100 = 199, todos impares — pero eso solo prueba casos. Para validar se usa un ejemplo genérico: 14 + 15 = 14 + 14 + 1 = 2 × 14 + 1, el doble de un número más 1. El doble de un número es par y más 1 es impar. Nada de esto depende del 14: con una letra, n + (n + 1) = 2 × n + 1. Luego es verdad para cualquier par de números consecutivos.
«Pasó tres pruebas, luego es verdad»
Rui notó que 3, 13 y 23 son primos (un primo solo tiene dos divisores: 1 y él mismo). Su conjetura: todo número que termina en 3 es primo. Probó uno más, el 33. Pero 33 = 3 × 11, tiene más divisores. Un solo contraejemplo derriba una conjetura, por muchas pruebas que haya superado. Cómo evitar la trampa: busca a propósito el caso difícil y pregunta «¿por qué tendría que ser siempre así?».
Dónde se ve: «siempre» y «nunca»
Siempre que oyes «todos», «siempre» o «nunca», estás ante una conjetura. ¿«Todos los múltiplos de 5 terminan en 5»? Mira 5, 10, 15, 20: el 10 es un contraejemplo, así que es falso. Para confirmar una afirmación necesitas una razón que cubra todos los casos. Quien hace juegos y aplicaciones hace lo mismo: prueba valores raros (0, 1, el mayor posible) precisamente para cazar el contraejemplo.
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