Congetturare, verificare e giustificare — Matematica, 11–13
Scoprire una regolarità, formulare una congettura e capire che verificare dei casi non è convalidare — con controesempi e altri modi di giustificare.
Una congettura è un'intuizione fondata
Una congettura è un'affermazione a cui credi perché hai visto una regolarità. 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41: la somma di due numeri consecutivi sembra sempre dispari. Classificare aiuta a vedere le regolarità: in 12, 18, 24, 30, 36 e 45, cinque sono multipli di 6 e 45 è l'intruso. Poi viene la cosa importante: verifichi la congettura su dei casi e, più tardi, la convalidi. Sono due cose diverse.
Verificare non basta: quattro modi di giustificare
Verificare è provare dei casi; convalidare è mostrare che l'affermazione vale per tutti, oppure che fallisce in uno. Ci sono modi diversi di giustificare. Controesempio: «tutti i numeri primi sono dispari» è falso, perché 2 è primo e pari. Esaustione: controllare tutti i casi possibili (i multipli di 6 fino a 20 sono 6, 12 e 18, tutti pari). Esempio generico: un argomento che non dipende dal numero scelto. Coerenza logica: pari + dispari dà dispari. Ognuno si adatta meglio a un tipo di affermazione.
Un caso: la somma di due numeri consecutivi
Congettura: la somma di due numeri consecutivi è dispari. Verifiche: 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41, 99 + 100 = 199, tutti dispari — ma questo è solo verificare. Per convalidare si usa un esempio generico: 14 + 15 = 14 + 14 + 1 = 2 × 14 + 1, il doppio di un numero più 1. Il doppio di un numero è pari e più 1 è dispari. Niente di ciò dipende da 14: con una lettera, n + (n + 1) = 2 × n + 1. Quindi è vero per ogni coppia di numeri consecutivi.
«Ha superato tre verifiche, quindi è vera»
Rui ha notato che 3, 13 e 23 sono primi (un numero primo ha solo due divisori: 1 e se stesso). La sua congettura: ogni numero che termina con 3 è primo. Ne ha provato uno in più, 33. Ma 33 = 3 × 11, ha altri divisori. Un solo controesempio abbatte una congettura, per quante verifiche abbia superato. Come evitare la trappola: cerca apposta il caso difficile e chiediti «perché dovrebbe essere sempre così?».
Dove si vede: «sempre» e «mai»
Ogni volta che senti «tutti», «sempre» o «mai», hai davanti una congettura. «Tutti i multipli di 5 finiscono con 5»? Guarda 5, 10, 15, 20: 10 è un controesempio, quindi è falso. Per confermare un'affermazione serve una ragione che copra tutti i casi. Chi crea giochi e app fa lo stesso: prova valori strani (0, 1, il più grande possibile) proprio per scovare il controesempio.
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