Vermuten, prüfen und begründen — Mathematik, 11–13
Ein Muster entdecken, eine Vermutung aufstellen und verstehen, dass Testen nicht Beweisen ist – mit Gegenbeispielen und anderen Begründungsformen.
Eine Vermutung ist eine begründete Ahnung
Eine Vermutung ist eine Aussage, an die du glaubst, weil du ein Muster gesehen hast. 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen scheint immer ungerade zu sein. Sortieren hilft, Muster zu sehen: Unter 12, 18, 24, 30, 36 und 45 sind fünf Vielfache von 6, und die 45 fällt heraus. Dann kommt das Wichtige: Du prüfst die Vermutung an Fällen und beweist sie später. Das sind zwei verschiedene Dinge.
Testen reicht nicht: vier Arten zu begründen
Testen heißt Fälle ausprobieren; beweisen heißt zeigen, dass die Aussage für alle Fälle gilt oder in einem scheitert. Es gibt verschiedene Arten zu begründen. Gegenbeispiel: „Alle Primzahlen sind ungerade“ ist falsch, denn 2 ist prim und gerade. Ausschöpfen: alle möglichen Fälle prüfen (die Vielfachen von 6 bis 20 sind 6, 12 und 18, alle gerade). Allgemeines Beispiel: ein Argument, das nicht von der gewählten Zahl abhängt. Logische Folgerung: gerade + ungerade ergibt ungerade. Jede passt zu einer anderen Art von Aussage.
Ein Fall: die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen
Vermutung: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist ungerade. Tests: 2 + 3 = 5, 7 + 8 = 15, 20 + 21 = 41, 99 + 100 = 199, alle ungerade – aber das ist nur Testen. Zum Beweisen nimmst du ein allgemeines Beispiel: 14 + 15 = 14 + 14 + 1 = 2 × 14 + 1, das Doppelte einer Zahl plus 1. Das Doppelte einer Zahl ist gerade, plus 1 ist ungerade. Nichts davon hängt von der 14 ab: mit einem Buchstaben, n + (n + 1) = 2 × n + 1. Es gilt also für jedes Paar aufeinanderfolgender Zahlen.
„Drei Tests bestanden, also stimmt es“
Rui bemerkte, dass 3, 13 und 23 Primzahlen sind (eine Primzahl hat nur zwei Teiler: 1 und sich selbst). Seine Vermutung: Jede Zahl, die auf 3 endet, ist prim. Er probierte noch eine, die 33. Aber 33 = 3 × 11, sie hat weitere Teiler. Ein einziges Gegenbeispiel stürzt eine Vermutung, egal wie viele Tests sie bestanden hat. So vermeidest du die Falle: Suche gezielt den schwierigen Fall und frage „Warum sollte es immer so sein?“.
Wo man es sieht: „immer“ und „nie“
Immer wenn du „alle“, „immer“ oder „nie“ hörst, steht eine Vermutung vor dir. „Alle Vielfachen von 5 enden auf 5“? Schau 5, 10, 15, 20: Die 10 ist ein Gegenbeispiel, also ist es falsch. Um eine Aussage zu bestätigen, brauchst du einen Grund, der alle Fälle abdeckt. Wer Spiele und Apps macht, tut dasselbe: Er probiert seltsame Werte (0, 1, den größtmöglichen), gerade um das Gegenbeispiel aufzuspüren.
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