Matemática 7.º ano: Poliedros regulares e irregulares: modelos e planificações
Matemática, 7.º ano (Portugal): Dois testes distinguem um poliedro regular de um irregular; depois vai-se da planificação ao sólido e vice-versa.
Regular ou irregular: dois testes ao mesmo tempo
Um poliedro é regular quando passa dois testes: todas as faces são o mesmo polígono regular, e em cada vértice se encontra o mesmo número de faces. O cubo passa: 6 quadrados iguais, 3 em cada vértice. Um prisma pentagonal reprova no primeiro teste: tem pentágonos e retângulos. Os poliedros regulares são cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Todos os outros são irregulares.
Porque é que os regulares são especiais
Num poliedro regular todas as faces e todos os cantos são iguais: se o rodares, nada te diz qual era a face de cima. É por isso que os dados têm essa forma: nenhuma face fica em vantagem. Num poliedro irregular, as faces ou os cantos diferem, e são essas diferenças que tens de explicar. Dos cinco, só o cubo é um prisma, e o tetraedro é a pirâmide triangular cujas faces são todas triângulos equiláteros.
Da planificação ao sólido: 8 triângulos
Uma planificação tem 8 triângulos equiláteros iguais e dobra-se num poliedro regular. Qual? Passo 1: 8 peças, logo 8 faces. Passo 2: os regulares têm 4, 6, 8, 12 e 20 faces, por isso só pode ser o octaedro. Passo 3: 8 × 3 = 24 lados, colados dois a dois: 24 ÷ 2 = 12 arestas. Passo 4: 8 × 3 = 24 cantos de triângulo, 4 em cada vértice: 24 ÷ 4 = 6 vértices. Confere no modelo: 6 vértices, 12 arestas.
Todas as faces iguais não chega
Cola duas pirâmides triangulares de faces equiláteras pela base. Fica um sólido com 6 faces, todas triângulos equiláteros iguais. Parece regular, mas não é: em 2 vértices encontram-se 3 faces e nos outros 3 vértices encontram-se 4. Reprova no segundo teste. É uma bipirâmide triangular, com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces. Faz sempre os dois testes: as faces e os cantos.
Dados, modelos e planificações
Os dados com 4, 6, 8, 12 e 20 faces têm a forma dos cinco poliedros regulares. Para os construíres podes usar polígonos de encaixe, ou desenhar uma planificação: 4 triângulos para o tetraedro, 6 quadrados para o cubo, 8 triângulos para o octaedro, 12 pentágonos para o dodecaedro, 20 triângulos para o icosaedro. Antes de colar, tenta visualizar a dobragem: quantas peças se vão juntar em cada canto?
Testa o que aprendeste
Qual destas frases descreve um poliedro regular?
- a) As duas bases são polígonos regulares.
- b) Todas as faces são o mesmo polígono regular, e em cada vértice se encontra o mesmo número de faces.
- c) Todas as arestas têm o mesmo comprimento.
- d) Todas as faces são polígonos regulares, não necessariamente iguais.
Resposta certa: b) Todas as faces são o mesmo polígono regular, e em cada vértice se encontra o mesmo número de faces. — Sim, os dois testes juntos. O cubo (6 quadrados, 3 em cada vértice) e o icosaedro (20 triângulos, 5 em cada vértice) passam-nos.
Uma planificação de 12 pentágonos regulares iguais dobra-se num poliedro regular, com 3 pentágonos em cada vértice. Quantos vértices tem?
- a) 12
- b) 60
- c) 20
- d) 36
Resposta certa: c) 20 — Sim: 12 × 5 = 60 cantos de pentágono, e 3 juntam-se em cada vértice, logo 60 ÷ 3 = 20 vértices (o dodecaedro).
A Ana cola duas pirâmides triangulares de faces equiláteras pela base: 6 faces, todas triângulos equiláteros iguais. Diz que é um poliedro regular. Tem razão?
- a) Não: em 2 dos vértices juntam-se 3 faces, mas nos outros 3 juntam-se 4.
- b) Sim: todas as faces são triângulos equiláteros iguais, e isso basta.
- c) Sim: as 9 arestas têm todas o mesmo comprimento.
- d) Não: um poliedro regular não pode ter faces triangulares.
Resposta certa: a) Não: em 2 dos vértices juntam-se 3 faces, mas nos outros 3 juntam-se 4. — Certo: falha o segundo teste, porque os cantos não são todos iguais. O sólido tem 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.
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