Mathematik Klasse 7: Regelmäßige und unregelmäßige Polyeder: Modelle und Netze
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Zwei Tests unterscheiden ein regelmäßiges von einem unregelmäßigen Polyeder; dann geht es vom Netz zum Körper und zurück.
Regelmäßig oder unregelmäßig: zwei Tests zugleich
Ein Polyeder ist regelmäßig, wenn es zwei Tests besteht: Alle Flächen sind dasselbe regelmäßige Vieleck, und an jeder Ecke treffen gleich viele Flächen zusammen. Der Würfel besteht: 6 gleiche Quadrate, 3 an jeder Ecke. Ein fünfseitiges Prisma fällt beim ersten Test durch: Es hat Fünfecke und Rechtecke. Es gibt fünf regelmäßige Polyeder: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Alle anderen sind unregelmäßig.
Warum die regelmäßigen etwas Besonderes sind
Bei einem regelmäßigen Polyeder sehen alle Flächen und alle Ecken gleich aus: Dreh es, und nichts verrät dir, welche Fläche oben lag. Deshalb haben Würfel diese Formen: Keine Fläche ist im Vorteil. Bei einem unregelmäßigen Polyeder unterscheiden sich Flächen oder Ecken, und genau diese Unterschiede musst du erklären. Von den fünf ist nur der Würfel ein Prisma, und das Tetraeder ist die dreiseitige Pyramide mit lauter gleichseitigen Dreiecken.
Vom Netz zum Körper: 8 Dreiecke
Ein Netz besteht aus 8 gleichen gleichseitigen Dreiecken und lässt sich zu einem regelmäßigen Polyeder falten. Zu welchem? Schritt 1: 8 Teile, also 8 Flächen. Schritt 2: Die regelmäßigen haben 4, 6, 8, 12 und 20 Flächen, also kann es nur das Oktaeder sein. Schritt 3: 8 × 3 = 24 Seiten, paarweise verklebt: 24 ÷ 2 = 12 Kanten. Schritt 4: 8 × 3 = 24 Dreiecksecken, 4 an jeder Ecke: 24 ÷ 4 = 6 Ecken. Probe am Modell: 6 Ecken, 12 Kanten.
Lauter gleiche Flächen genügen nicht
Klebe zwei dreiseitige Pyramiden mit gleichseitigen Flächen an der Grundfläche zusammen. Es entsteht ein Körper mit 6 Flächen, alle gleiche gleichseitige Dreiecke. Er wirkt regelmäßig, ist es aber nicht: An 2 Ecken treffen 3 Flächen zusammen, an den anderen 3 Ecken treffen 4 zusammen. Er fällt beim zweiten Test durch. Es ist eine dreiseitige Doppelpyramide mit 5 Ecken, 9 Kanten und 6 Flächen. Mach immer beide Tests: die Flächen und die Ecken.
Würfel, Modelle und Netze
Würfel mit 4, 6, 8, 12 und 20 Flächen haben die Formen der fünf regelmäßigen Polyeder. Zum Bauen nimmst du Steckvielecke oder zeichnest ein Netz: 4 Dreiecke für das Tetraeder, 6 Quadrate für den Würfel, 8 Dreiecke für das Oktaeder, 12 Fünfecke für das Dodekaeder, 20 Dreiecke für das Ikosaeder. Bevor du klebst, stell dir die Faltung vor: Wie viele Teile treffen an jeder Ecke zusammen?
Teste, was du gelernt hast
Welcher Satz beschreibt ein regelmäßiges Polyeder?
- a) Seine beiden Grundflächen sind regelmäßige Vielecke.
- b) Alle Flächen sind dasselbe regelmäßige Vieleck, und an jeder Ecke treffen gleich viele Flächen zusammen.
- c) Alle seine Kanten sind gleich lang.
- d) Alle seine Flächen sind regelmäßige Vielecke, nicht unbedingt gleiche.
Richtige Antwort: b) Alle Flächen sind dasselbe regelmäßige Vieleck, und an jeder Ecke treffen gleich viele Flächen zusammen. — Ja, beide Tests zusammen. Der Würfel (6 Quadrate, 3 an jeder Ecke) und das Ikosaeder (20 Dreiecke, 5 an jeder Ecke) bestehen sie.
Ein Netz aus 12 gleichen regelmäßigen Fünfecken lässt sich zu einem regelmäßigen Polyeder falten, mit 3 Fünfecken an jeder Ecke. Wie viele Ecken hat es?
- a) 12
- b) 60
- c) 20
- d) 36
Richtige Antwort: c) 20 — Ja: 12 × 5 = 60 Fünfeckecken, und 3 davon treffen an jeder Ecke zusammen, also 60 ÷ 3 = 20 Ecken (das Dodekaeder).
Ana klebt zwei dreiseitige Pyramiden mit gleichseitigen Flächen an der Grundfläche zusammen: 6 Flächen, alle gleiche gleichseitige Dreiecke. Sie sagt, es sei ein regelmäßiges Polyeder. Hat sie recht?
- a) Nein: an 2 Ecken treffen 3 Flächen zusammen, an den anderen 3 treffen 4 zusammen.
- b) Ja: Alle Flächen sind gleiche gleichseitige Dreiecke, und das genügt.
- c) Ja: Alle 9 Kanten sind gleich lang.
- d) Nein: Ein regelmäßiges Polyeder kann keine dreieckigen Flächen haben.
Richtige Antwort: a) Nein: an 2 Ecken treffen 3 Flächen zusammen, an den anderen 3 treffen 4 zusammen. — Richtig: Der zweite Test schlägt fehl, weil die Ecken nicht alle gleich sind. Der Körper hat 5 Ecken, 9 Kanten und 6 Flächen.
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