Mathématiques 7e année : Polyèdres réguliers et irréguliers : maquettes et patrons
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Deux tests distinguent un polyèdre régulier d'un irrégulier ; puis on passe du patron au solide et inversement.
Régulier ou irrégulier : deux tests à la fois
Un polyèdre est régulier quand il réussit deux tests : toutes les faces sont le même polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent en chaque sommet. Le cube réussit : 6 carrés égaux, 3 à chaque sommet. Un prisme pentagonal échoue au premier test : il a des pentagones et des rectangles. Il y a cinq polyèdres réguliers : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre. Tous les autres sont irréguliers.
Pourquoi les réguliers sont spéciaux
Dans un polyèdre régulier, toutes les faces et tous les coins se ressemblent : tourne-le et rien ne te dit quelle face était dessus. C'est pourquoi les dés ont cette forme : aucune face n'est avantagée. Dans un polyèdre irrégulier, les faces ou les coins diffèrent, et ce sont ces différences que tu dois expliquer. Parmi les cinq, seul le cube est un prisme, et le tétraèdre est la pyramide triangulaire dont les faces sont toutes des triangles équilatéraux.
Du patron au solide : 8 triangles
Un patron a 8 triangles équilatéraux égaux et se plie en un polyèdre régulier. Lequel ? Étape 1 : 8 pièces, donc 8 faces. Étape 2 : les réguliers ont 4, 6, 8, 12 et 20 faces, ce ne peut être que l'octaèdre. Étape 3 : 8 × 3 = 24 côtés, collés deux à deux : 24 ÷ 2 = 12 arêtes. Étape 4 : 8 × 3 = 24 coins de triangle, 4 à chaque sommet : 24 ÷ 4 = 6 sommets. Vérifie sur la maquette : 6 sommets, 12 arêtes.
Toutes les faces égales ne suffit pas
Colle deux pyramides triangulaires à faces équilatérales par leur base. Tu obtiens un solide à 6 faces, toutes des triangles équilatéraux égaux. Il a l'air régulier, mais ne l'est pas : en 2 sommets se rencontrent 3 faces, et aux 3 autres sommets se rencontrent 4 faces. Il échoue au second test. C'est une bipyramide à base triangulaire, avec 5 sommets, 9 arêtes et 6 faces. Fais toujours les deux tests : les faces et les coins.
Dés, maquettes et patrons
Les dés à 4, 6, 8, 12 et 20 faces ont la forme des cinq polyèdres réguliers. Pour les construire, utilise des polygones à emboîter, ou dessine un patron : 4 triangles pour le tétraèdre, 6 carrés pour le cube, 8 triangles pour l'octaèdre, 12 pentagones pour le dodécaèdre, 20 triangles pour l'icosaèdre. Avant de coller, essaie d'imaginer le pliage : combien de pièces se rejoindront à chaque coin ?
Teste ce que tu as appris
Laquelle de ces phrases décrit un polyèdre régulier ?
- a) Ses deux bases sont des polygones réguliers.
- b) Toutes les faces sont le même polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet.
- c) Toutes ses arêtes ont la même longueur.
- d) Toutes ses faces sont des polygones réguliers, pas forcément égaux.
Bonne réponse: b) Toutes les faces sont le même polygone régulier, et le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet. — Oui, les deux tests ensemble. Le cube (6 carrés, 3 à chaque sommet) et l'icosaèdre (20 triangles, 5 à chaque sommet) les réussissent.
Un patron de 12 pentagones réguliers égaux se plie en un polyèdre régulier, avec 3 pentagones à chaque sommet. Combien de sommets a-t-il ?
- a) 12
- b) 60
- c) 20
- d) 36
Bonne réponse: c) 20 — Oui : 12 × 5 = 60 coins de pentagone, et 3 se rejoignent à chaque sommet, donc 60 ÷ 3 = 20 sommets (le dodécaèdre).
Ana colle deux pyramides triangulaires à faces équilatérales par leur base : 6 faces, toutes des triangles équilatéraux égaux. Elle dit que c'est un polyèdre régulier. A-t-elle raison ?
- a) Non : à 2 des sommets se rencontrent 3 faces, mais aux 3 autres se rencontrent 4.
- b) Oui : toutes les faces sont des triangles équilatéraux égaux, et cela suffit.
- c) Oui : les 9 arêtes ont toutes la même longueur.
- d) Non : un polyèdre régulier ne peut pas avoir de faces triangulaires.
Bonne réponse: a) Non : à 2 des sommets se rencontrent 3 faces, mais aux 3 autres se rencontrent 4. — Exact : le second test échoue, car les coins ne sont pas tous pareils. Le solide a 5 sommets, 9 arêtes et 6 faces.
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