Matematica classe 7: Poliedri regolari e irregolari: modelli e sviluppi piani
Matematica, classe 7 (Portogallo): Due prove distinguono un poliedro regolare da uno irregolare; poi si passa dallo sviluppo al solido e viceversa.
Regolare o irregolare: due prove insieme
Un poliedro è regolare quando supera due prove: tutte le facce sono lo stesso poligono regolare, e in ogni vertice si incontra lo stesso numero di facce. Il cubo le supera: 6 quadrati uguali, 3 in ogni vertice. Un prisma pentagonale non supera la prima: ha pentagoni e rettangoli. I poliedri regolari sono cinque: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. Tutti gli altri sono irregolari.
Perché i regolari sono speciali
In un poliedro regolare tutte le facce e tutti gli angoli sono uguali: se lo giri, niente ti dice quale fosse la faccia in alto. Per questo i dadi hanno quella forma: nessuna faccia è avvantaggiata. In un poliedro irregolare facce o angoli differiscono, e sono proprio queste differenze che devi spiegare. Dei cinque, solo il cubo è un prisma, e il tetraedro è la piramide triangolare con tutte le facce triangoli equilateri.
Dallo sviluppo al solido: 8 triangoli
Uno sviluppo ha 8 triangoli equilateri uguali e si piega in un poliedro regolare. Quale? Passo 1: 8 pezzi, quindi 8 facce. Passo 2: i regolari hanno 4, 6, 8, 12 e 20 facce, quindi può essere solo l'ottaedro. Passo 3: 8 × 3 = 24 lati, incollati a due a due: 24 ÷ 2 = 12 spigoli. Passo 4: 8 × 3 = 24 angoli di triangolo, 4 in ogni vertice: 24 ÷ 4 = 6 vertici. Controlla sul modello: 6 vertici, 12 spigoli.
Tutte le facce uguali non basta
Incolla due piramidi triangolari con facce equilatere lungo la base. Ottieni un solido con 6 facce, tutte triangoli equilateri uguali. Sembra regolare, ma non lo è: in 2 vertici si incontrano 3 facce e negli altri 3 vertici se ne incontrano 4. Non supera la seconda prova. È una bipiramide triangolare, con 5 vertici, 9 spigoli e 6 facce. Fai sempre entrambe le prove: le facce e gli angoli.
Dadi, modelli e sviluppi
I dadi con 4, 6, 8, 12 e 20 facce hanno la forma dei cinque poliedri regolari. Per costruirli puoi usare poligoni ad incastro, o disegnare uno sviluppo: 4 triangoli per il tetraedro, 6 quadrati per il cubo, 8 triangoli per l'ottaedro, 12 pentagoni per il dodecaedro, 20 triangoli per l'icosaedro. Prima di incollare, prova a immaginare la piegatura: quanti pezzi si uniranno in ogni angolo?
Metti alla prova quello che hai imparato
Quale di queste frasi descrive un poliedro regolare?
- a) Le due basi sono poligoni regolari.
- b) Tutte le facce sono lo stesso poligono regolare, e in ogni vertice si incontra lo stesso numero di facce.
- c) Tutti i suoi spigoli hanno la stessa lunghezza.
- d) Tutte le sue facce sono poligoni regolari, non necessariamente uguali.
Risposta corretta: b) Tutte le facce sono lo stesso poligono regolare, e in ogni vertice si incontra lo stesso numero di facce. — Sì, le due prove insieme. Il cubo (6 quadrati, 3 in ogni vertice) e l'icosaedro (20 triangoli, 5 in ogni vertice) le superano.
Uno sviluppo di 12 pentagoni regolari uguali si piega in un poliedro regolare, con 3 pentagoni in ogni vertice. Quanti vertici ha?
- a) 12
- b) 60
- c) 20
- d) 36
Risposta corretta: c) 20 — Sì: 12 × 5 = 60 angoli di pentagono, e 3 si uniscono in ogni vertice, quindi 60 ÷ 3 = 20 vertici (il dodecaedro).
Ana incolla due piramidi triangolari con facce equilatere lungo la base: 6 facce, tutte triangoli equilateri uguali. Dice che è un poliedro regolare. Ha ragione?
- a) No: in 2 dei vertici si incontrano 3 facce, ma negli altri 3 se ne incontrano 4.
- b) Sì: tutte le facce sono triangoli equilateri uguali, e questo basta.
- c) Sì: i 9 spigoli hanno tutti la stessa lunghezza.
- d) No: un poliedro regolare non può avere facce triangolari.
Risposta corretta: a) No: in 2 dei vertici si incontrano 3 facce, ma negli altri 3 se ne incontrano 4. — Esatto: la seconda prova fallisce, perché gli angoli non sono tutti uguali. Il solido ha 5 vertici, 9 spigoli e 6 facce.
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