Matemáticas 7.º curso: Poliedros regulares e irregulares: modelos y desarrollos
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Dos pruebas distinguen un poliedro regular de uno irregular; después se va del desarrollo al sólido y al revés.
Regular o irregular: dos pruebas a la vez
Un poliedro es regular cuando supera dos pruebas: todas las caras son el mismo polígono regular, y en cada vértice se encuentra el mismo número de caras. El cubo las supera: 6 cuadrados iguales, 3 en cada vértice. Un prisma pentagonal suspende la primera: tiene pentágonos y rectángulos. Los poliedros regulares son cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Todos los demás son irregulares.
Por qué los regulares son especiales
En un poliedro regular todas las caras y todas las esquinas son iguales: si lo giras, nada te dice cuál era la cara de arriba. Por eso los dados tienen esa forma: ninguna cara tiene ventaja. En un poliedro irregular, las caras o las esquinas difieren, y esas diferencias son justo lo que tienes que explicar. De los cinco, solo el cubo es un prisma, y el tetraedro es la pirámide triangular cuyas caras son todas triángulos equiláteros.
Del desarrollo al sólido: 8 triángulos
Un desarrollo tiene 8 triángulos equiláteros iguales y se pliega en un poliedro regular. ¿Cuál? Paso 1: 8 piezas, luego 8 caras. Paso 2: los regulares tienen 4, 6, 8, 12 y 20 caras, así que solo puede ser el octaedro. Paso 3: 8 × 3 = 24 lados, pegados de dos en dos: 24 ÷ 2 = 12 aristas. Paso 4: 8 × 3 = 24 esquinas de triángulo, 4 en cada vértice: 24 ÷ 4 = 6 vértices. Comprueba en el modelo: 6 vértices, 12 aristas.
Todas las caras iguales no basta
Pega dos pirámides triangulares de caras equiláteras por la base. Sale un sólido con 6 caras, todas triángulos equiláteros iguales. Parece regular, pero no lo es: en 2 vértices se encuentran 3 caras y en los otros 3 vértices se encuentran 4. Suspende la segunda prueba. Es una bipirámide triangular, con 5 vértices, 9 aristas y 6 caras. Haz siempre las dos pruebas: las caras y las esquinas.
Dados, modelos y desarrollos
Los dados de 4, 6, 8, 12 y 20 caras tienen la forma de los cinco poliedros regulares. Para construirlos puedes usar polígonos encajables, o dibujar un desarrollo: 4 triángulos para el tetraedro, 6 cuadrados para el cubo, 8 triángulos para el octaedro, 12 pentágonos para el dodecaedro, 20 triángulos para el icosaedro. Antes de pegar, intenta imaginar el plegado: ¿cuántas piezas se juntarán en cada esquina?
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Cuál de estas frases describe un poliedro regular?
- a) Sus dos bases son polígonos regulares.
- b) Todas las caras son el mismo polígono regular, y en cada vértice se encuentra el mismo número de caras.
- c) Todas sus aristas tienen la misma longitud.
- d) Todas sus caras son polígonos regulares, no necesariamente iguales.
Respuesta correcta: b) Todas las caras son el mismo polígono regular, y en cada vértice se encuentra el mismo número de caras. — Sí, las dos pruebas juntas. El cubo (6 cuadrados, 3 en cada vértice) y el icosaedro (20 triángulos, 5 en cada vértice) las superan.
Un desarrollo de 12 pentágonos regulares iguales se pliega en un poliedro regular, con 3 pentágonos en cada vértice. ¿Cuántos vértices tiene?
- a) 12
- b) 60
- c) 20
- d) 36
Respuesta correcta: c) 20 — Sí: 12 × 5 = 60 esquinas de pentágono, y 3 se juntan en cada vértice, luego 60 ÷ 3 = 20 vértices (el dodecaedro).
Ana pega dos pirámides triangulares de caras equiláteras por la base: 6 caras, todas triángulos equiláteros iguales. Dice que es un poliedro regular. ¿Tiene razón?
- a) No: en 2 de los vértices se juntan 3 caras, pero en los otros 3 se juntan 4.
- b) Sí: todas las caras son triángulos equiláteros iguales, y eso basta.
- c) Sí: las 9 aristas tienen todas la misma longitud.
- d) No: un poliedro regular no puede tener caras triangulares.
Respuesta correcta: a) No: en 2 de los vértices se juntan 3 caras, pero en los otros 3 se juntan 4. — Correcto: falla la segunda prueba, porque las esquinas no son todas iguales. El sólido tiene 5 vértices, 9 aristas y 6 caras.
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