Matemática 7.º ano: Sequências de números racionais e termo geral
Matemática, 7.º ano (Portugal): Com negativos, decimais e frações na lista, a lei continua a nascer do salto entre termos, e o termo geral dá qualquer termo diretamente a partir da ordem.
A lei, e o termo geral
Uma sequência de números racionais pode ter negativos, decimais e frações. Em −7; −4,5; −2; 0,5… cada termo é o anterior mais 2,5: essa é a lei, dita por palavras. A lei também pode dar um termo a partir da ordem, e chama-se termo geral. Da ordem 1 à ordem n há n − 1 saltos de 2,5, por isso o termo é −7 + 2,5 × (n − 1), que se simplifica em 2,5 × n − 9,5. Testa: n = 1 dá −7 e n = 4 dá 0,5. Uma lei diz-se por palavras ou por símbolos, e só vale se servir para todos os termos que conheces.
Uma sequência, quatro faces
A mesma sequência pode aparecer num desenho, numa tabela, em palavras e numa fórmula, e todas têm de contar a mesma história. Toma hexágonos (lado 1) juntos numa fila: a figura n tem n hexágonos e o perímetro é 6, 10, 14, 18… Palavras: cada hexágono novo acrescenta 4. Desenho: n hexágonos têm 2n lados em cima, 2n em baixo e 1 em cada ponta, ou seja, 4n + 2. Contando de outra maneira: 6n lados menos 2 por cada uma das n − 1 junções, ou seja, 6n − 2(n − 1). Para n = 5 as duas dão 22 (6 × 5 − 2 × 4 = 22 e 4 × 5 + 2 = 22). Fórmulas diferentes, uma só sequência.
Termos antes e muito depois dos que se veem
Uma tabela mostra só as ordens 4 a 7: 0,5; 3; 5,5; 8, e cada termo está 2,5 acima do anterior. A ordem 1 fica 3 saltos para trás: 0,5 − 3 × 2,5 = 0,5 − 7,5 = −7. Logo o termo geral é −7 + 2,5 × (n − 1) = 2,5 × n − 9,5. Ordem 20: 2,5 × 20 − 9,5 = 50 − 9,5 = 40,5. Confirma por saltos: −7 + 19 × 2,5 = −7 + 47,5 = 40,5, o mesmo. Ordem 100: 250 − 9,5 = 240,5. O 33 é termo? De −7 a 33 sobem-se 40, e 40 ÷ 2,5 = 16 saltos certos, por isso o 33 tem ordem 17. E o 20? 27 ÷ 2,5 = 10,8, não é inteiro: não é termo.
O zero não é o fim
Sequência 3/2; 1; 1/2; 0… e a lei é subtrair 1/2. Muita gente pára no 0, ou dá a volta e escreve 1/2; 1; 3/2, como se os números batessem no zero e voltassem. Isso servia em anos anteriores, quando as sequências de números acabavam no 0. Agora há números negativos, e a lei não muda quando passas o zero: 0 − 1/2 = −1/2, depois −1, depois −3/2. O termo geral é (4 − n)/2: n = 1 dá 3/2 e n = 7 dá −3/2. O salto é o mesmo dos dois lados do zero.
Temperaturas a descer e folhas de cálculo
Uma temperatura que desce 1,5 °C por hora a partir de 4 °C dá 4; 2,5; 1; −0,5; −2… uma sequência de números racionais que passa o zero. O termo geral é 5,5 − 1,5 × n: n = 1 dá 4 e n = 5 dá 5,5 − 7,5 = −2. Uma folha de cálculo faz este trabalho por ti: escreves o primeiro termo numa célula e, na de baixo, «a de cima mais 2,5» (ou menos 1,5); arrastas para baixo e ela lista os termos que quiseres. Tu dás a lei, a máquina repete-a, e os primeiros termos confirmas tu à mão.
Testa o que aprendeste
A sequência 1,2; 0,7; 0,2; −0,3… segue uma lei. Qual?
- a) Somar 0,5 ao termo anterior
- b) Subtrair 0,7 ao termo anterior
- c) Subtrair 0,5 ao termo anterior
- d) Multiplicar o termo anterior por 0,5
Resposta certa: c) Subtrair 0,5 ao termo anterior — Certo: 1,2 − 0,5 = 0,7, 0,7 − 0,5 = 0,2, 0,2 − 0,5 = −0,3. O mesmo salto de cada vez, mesmo depois do zero.
Uma sequência começa 2; 0,5; −1; −2,5… (cada termo está 1,5 abaixo do anterior). Qual é o termo de ordem 12?
- a) −14,5
- b) −16
- c) −18
- d) 16,5
Resposta certa: a) −14,5 — Certo: da ordem 1 à ordem 12 há 11 saltos, logo 2 − 1,5 × 11 = 2 − 16,5 = −14,5.
Uma sequência começa 1,5; 1; 0,5; 0… e a lei é subtrair 0,5 de cada vez. Qual é o termo de ordem 7?
- a) 1,5
- b) −2
- c) Não existe: a sequência acaba no 0
- d) −1,5
Resposta certa: d) −1,5 — Certo: 1,5 − 0,5 × 6 = 1,5 − 3 = −1,5. A sequência segue 0, −0,5, −1, −1,5: o mesmo salto dos dois lados do zero.
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