Matematica classe 7: Successioni di numeri razionali e termine generale
Matematica, classe 7 (Portogallo): Con negativi, decimali e frazioni nell'elenco, la legge nasce sempre dal salto tra i termini, e il termine generale dà qualsiasi termine direttamente dal posto.
La legge e il termine generale
Una successione di numeri razionali può contenere negativi, decimali e frazioni. In −7; −4,5; −2; 0,5… ogni termine è il precedente più 2,5: questa è la legge, detta a parole. La legge può anche dare un termine dal posto, ed è il termine generale. Dal posto 1 al posto n ci sono n − 1 salti di 2,5, quindi il termine è −7 + 2,5 × (n − 1), che si semplifica in 2,5 × n − 9,5. Provalo: n = 1 dà −7 e n = 4 dà 0,5. Una legge si dice a parole o con simboli, e vale solo se funziona per tutti i termini che conosci.
Una successione, quattro facce
La stessa successione può comparire in un disegno, in una tabella, a parole e in una formula, e tutte devono raccontare la stessa storia. Prendi esagoni (lato 1) uniti in fila: la figura n ha n esagoni e il perimetro è 6, 10, 14, 18… A parole: ogni nuovo esagono aggiunge 4. Disegno: n esagoni hanno 2n lati sopra, 2n sotto e 1 a ciascuna estremità, cioè 4n + 2. Contando in un altro modo: 6n lati meno 2 per ciascuna delle n − 1 giunzioni, cioè 6n − 2(n − 1). Per n = 5 entrambe danno 22 (6 × 5 − 2 × 4 = 22 e 4 × 5 + 2 = 22). Formule diverse, una sola successione.
Termini prima e molto dopo quelli visibili
Una tabella mostra solo i posti da 4 a 7: 0,5; 3; 5,5; 8, e ogni termine è 2,5 sopra il precedente. Il posto 1 sta 3 salti indietro: 0,5 − 3 × 2,5 = 0,5 − 7,5 = −7. Quindi il termine generale è −7 + 2,5 × (n − 1) = 2,5 × n − 9,5. Posto 20: 2,5 × 20 − 9,5 = 50 − 9,5 = 40,5. Controlla per salti: −7 + 19 × 2,5 = −7 + 47,5 = 40,5, uguale. Posto 100: 250 − 9,5 = 240,5. Il 33 è un termine? Da −7 a 33 si sale di 40, e 40 ÷ 2,5 = 16 salti esatti, quindi il 33 ha posto 17. E il 20? 27 ÷ 2,5 = 10,8, non è intero: no.
Lo zero non è la fine
Successione 3/2; 1; 1/2; 0… e la legge è sottrarre 1/2. Molti si fermano allo 0, o tornano indietro e scrivono 1/2; 1; 3/2, come se i numeri rimbalzassero sullo zero. Negli anni precedenti bastava, perché le successioni di numeri finivano a 0. Ora ci sono i numeri negativi, e la legge non cambia quando si passa lo zero: 0 − 1/2 = −1/2, poi −1, poi −3/2. Il termine generale è (4 − n)/2: n = 1 dà 3/2 e n = 7 dà −3/2. Il salto è lo stesso da entrambi i lati dello zero.
Temperature che scendono e fogli di calcolo
Una temperatura che scende di 1,5 °C ogni ora a partire da 4 °C dà 4; 2,5; 1; −0,5; −2… una successione di numeri razionali che attraversa lo zero. Il suo termine generale è 5,5 − 1,5 × n: n = 1 dà 4 e n = 5 dà 5,5 − 7,5 = −2. Un foglio di calcolo fa questo lavoro per te: scrivi il primo termine in una cella e, in quella sotto, «quella sopra più 2,5» (o meno 1,5); trascini verso il basso e ti elenca quanti termini vuoi. Tu dai la legge, la macchina la ripete, e i primi termini li controlli tu a mano.
Metti alla prova quello che hai imparato
La successione 1,2; 0,7; 0,2; −0,3… segue una legge. Quale?
- a) Sommare 0,5 al termine precedente
- b) Sottrarre 0,7 al termine precedente
- c) Sottrarre 0,5 al termine precedente
- d) Moltiplicare il termine precedente per 0,5
Risposta corretta: c) Sottrarre 0,5 al termine precedente — Giusto: 1,2 − 0,5 = 0,7, 0,7 − 0,5 = 0,2, 0,2 − 0,5 = −0,3. Lo stesso salto ogni volta, anche dopo lo zero.
Una successione inizia 2; 0,5; −1; −2,5… (ogni termine è 1,5 sotto il precedente). Qual è il termine di posto 12?
- a) −14,5
- b) −16
- c) −18
- d) 16,5
Risposta corretta: a) −14,5 — Giusto: dal posto 1 al posto 12 ci sono 11 salti, quindi 2 − 1,5 × 11 = 2 − 16,5 = −14,5.
Una successione inizia 1,5; 1; 0,5; 0… e la legge è sottrarre 0,5 ogni volta. Qual è il termine di posto 7?
- a) 1,5
- b) −2
- c) Non esiste: la successione finisce a 0
- d) −1,5
Risposta corretta: d) −1,5 — Giusto: 1,5 − 0,5 × 6 = 1,5 − 3 = −1,5. La successione prosegue 0, −0,5, −1, −1,5: lo stesso salto da entrambi i lati dello zero.
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