Mathematik Klasse 7: Folgen rationaler Zahlen und das allgemeine Glied
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Mit negativen Zahlen, Dezimalzahlen und Brüchen in der Liste entsteht die Regel weiter aus dem Sprung zwischen den Gliedern, und das allgemeine Glied liefert jedes Glied direkt aus seinem Platz.
Die Regel und das allgemeine Glied
Eine Folge rationaler Zahlen kann negative Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche enthalten. In −7; −4,5; −2; 0,5… ist jedes Glied das vorige plus 2,5: Das ist die Regel, in Worten gesagt. Die Regel kann auch ein Glied aus seinem Platz liefern, das allgemeine Glied. Von Platz 1 bis Platz n gibt es n − 1 Sprünge von 2,5, also ist das Glied −7 + 2,5 × (n − 1), vereinfacht 2,5 × n − 9,5. Teste: n = 1 ergibt −7, n = 4 ergibt 0,5. Eine Regel steht in Worten oder Symbolen, und sie gilt nur, wenn sie zu allen bekannten Gliedern passt.
Eine Folge, vier Gesichter
Dieselbe Folge kann als Zeichnung, Tabelle, in Worten und als Formel erscheinen, und alle müssen dieselbe Geschichte erzählen. Nimm Sechsecke (Seite 1) in einer Reihe: Figur n hat n Sechsecke, und der Umfang ist 6, 10, 14, 18… In Worten: Jedes neue Sechseck fügt 4 hinzu. Zeichnung: n Sechsecke haben oben 2n Seiten, unten 2n und an jedem Ende 1, also 4n + 2. Anders gezählt: 6n Seiten minus 2 für jede der n − 1 Verbindungen, also 6n − 2(n − 1). Für n = 5 ergeben beide 22 (6 × 5 − 2 × 4 = 22 und 4 × 5 + 2 = 22). Verschiedene Formeln, eine Folge.
Glieder vor und weit nach den gezeigten
Eine Tabelle zeigt nur die Plätze 4 bis 7: 0,5; 3; 5,5; 8, und jedes Glied liegt 2,5 über dem vorigen. Platz 1 liegt 3 Sprünge zurück: 0,5 − 3 × 2,5 = 0,5 − 7,5 = −7. Das allgemeine Glied ist also −7 + 2,5 × (n − 1) = 2,5 × n − 9,5. Platz 20: 2,5 × 20 − 9,5 = 50 − 9,5 = 40,5. Kontrolle mit Sprüngen: −7 + 19 × 2,5 = −7 + 47,5 = 40,5, dasselbe. Platz 100: 250 − 9,5 = 240,5. Ist 33 ein Glied? Von −7 bis 33 sind es 40, und 40 ÷ 2,5 = genau 16 Sprünge, also hat 33 den Platz 17. Und 20? 27 ÷ 2,5 = 10,8, nicht ganz: nein.
Null ist nicht das Ende
Folge 3/2; 1; 1/2; 0… und die Regel lautet: 1/2 abziehen. Viele hören bei 0 auf oder kehren um und schreiben 1/2; 1; 3/2, als würden die Zahlen an der Null abprallen. In früheren Jahren reichte das, weil Zahlenfolgen bei 0 endeten. Jetzt gibt es negative Zahlen, und die Regel ändert sich beim Überqueren der Null nicht: 0 − 1/2 = −1/2, dann −1, dann −3/2. Das allgemeine Glied ist (4 − n)/2: n = 1 ergibt 3/2 und n = 7 ergibt −3/2. Der Sprung ist auf beiden Seiten der Null gleich.
Sinkende Temperaturen und Tabellenkalkulation
Eine Temperatur, die von 4 °C aus jede Stunde um 1,5 °C sinkt, ergibt 4; 2,5; 1; −0,5; −2… eine Folge rationaler Zahlen, die die Null überquert. Ihr allgemeines Glied ist 5,5 − 1,5 × n: n = 1 ergibt 4 und n = 5 ergibt 5,5 − 7,5 = −2. Eine Tabellenkalkulation übernimmt diese Arbeit: Du schreibst das erste Glied in eine Zelle und in die darunter „die obere plus 2,5“ (oder minus 1,5); nach unten ziehen, und sie listet beliebig viele Glieder auf. Du gibst die Regel vor, die Maschine wiederholt sie, und die ersten Glieder prüfst du von Hand.
Teste, was du gelernt hast
Die Folge 1,2; 0,7; 0,2; −0,3… folgt einer Regel. Welcher?
- a) Zum vorigen Glied 0,5 addieren
- b) Vom vorigen Glied 0,7 abziehen
- c) Vom vorigen Glied 0,5 abziehen
- d) Das vorige Glied mit 0,5 multiplizieren
Richtige Antwort: c) Vom vorigen Glied 0,5 abziehen — Richtig: 1,2 − 0,5 = 0,7, 0,7 − 0,5 = 0,2, 0,2 − 0,5 = −0,3. Jedes Mal derselbe Sprung, auch jenseits der Null.
Eine Folge beginnt 2; 0,5; −1; −2,5… (jedes Glied liegt 1,5 unter dem vorigen). Wie lautet das Glied an Platz 12?
- a) −14,5
- b) −16
- c) −18
- d) 16,5
Richtige Antwort: a) −14,5 — Richtig: Von Platz 1 bis Platz 12 sind es 11 Sprünge, also 2 − 1,5 × 11 = 2 − 16,5 = −14,5.
Eine Folge beginnt 1,5; 1; 0,5; 0… und die Regel lautet: jedes Mal 0,5 abziehen. Wie lautet das Glied an Platz 7?
- a) 1,5
- b) −2
- c) Es gibt es nicht: Die Folge endet bei 0
- d) −1,5
Richtige Antwort: d) −1,5 — Richtig: 1,5 − 0,5 × 6 = 1,5 − 3 = −1,5. Die Folge geht 0, −0,5, −1, −1,5 weiter: derselbe Sprung auf beiden Seiten der Null.
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