Mathématiques 7e année : Suites de nombres rationnels et terme général
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Avec des négatifs, des décimaux et des fractions dans la liste, la loi naît toujours du saut entre les termes, et le terme général donne n'importe quel terme directement à partir du rang.
La loi et le terme général
Une suite de nombres rationnels peut contenir des négatifs, des décimaux et des fractions. Dans −7 ; −4,5 ; −2 ; 0,5… chaque terme est le précédent plus 2,5 : c'est la loi, dite avec des mots. La loi peut aussi donner un terme à partir du rang, c'est le terme général. Du rang 1 au rang n il y a n − 1 sauts de 2,5, donc le terme est −7 + 2,5 × (n − 1), qui se simplifie en 2,5 × n − 9,5. Teste : n = 1 donne −7 et n = 4 donne 0,5. Une loi se dit en mots ou en symboles, et elle ne vaut que si elle convient à tous les termes connus.
Une suite, quatre visages
La même suite peut se montrer par un dessin, un tableau, des mots et une formule, et tous doivent raconter la même histoire. Prends des hexagones (côté 1) collés en rangée : la figure n a n hexagones et son périmètre est 6, 10, 14, 18… En mots : chaque nouvel hexagone ajoute 4. Dessin : n hexagones ont 2n côtés en haut, 2n en bas et 1 à chaque bout, soit 4n + 2. En comptant autrement : 6n côtés moins 2 pour chacune des n − 1 jonctions, soit 6n − 2(n − 1). Pour n = 5 les deux donnent 22 (6 × 5 − 2 × 4 = 22 et 4 × 5 + 2 = 22). Formules différentes, une seule suite.
Des termes avant et très après ceux qu'on voit
Un tableau ne montre que les rangs 4 à 7 : 0,5 ; 3 ; 5,5 ; 8, et chaque terme est 2,5 au-dessus du précédent. Le rang 1 est 3 sauts en arrière : 0,5 − 3 × 2,5 = 0,5 − 7,5 = −7. Le terme général est donc −7 + 2,5 × (n − 1) = 2,5 × n − 9,5. Rang 20 : 2,5 × 20 − 9,5 = 50 − 9,5 = 40,5. Vérifie par sauts : −7 + 19 × 2,5 = −7 + 47,5 = 40,5, pareil. Rang 100 : 250 − 9,5 = 240,5. 33 est-il un terme ? De −7 à 33 on monte de 40, et 40 ÷ 2,5 = 16 sauts exactement, donc 33 a le rang 17. Et 20 ? 27 ÷ 2,5 = 10,8, pas entier : non.
Zéro n'est pas la fin
Suite 3/2 ; 1 ; 1/2 ; 0… et la loi est de retirer 1/2. Beaucoup s'arrêtent à 0, ou font demi-tour et écrivent 1/2 ; 1 ; 3/2, comme si les nombres rebondissaient sur zéro. Cela suffisait les années précédentes, quand les suites de nombres finissaient à 0. Maintenant il y a des nombres négatifs, et la loi ne change pas quand on passe zéro : 0 − 1/2 = −1/2, puis −1, puis −3/2. Le terme général est (4 − n)/2 : n = 1 donne 3/2 et n = 7 donne −3/2. Le saut est le même des deux côtés de zéro.
Températures qui baissent et tableurs
Une température qui baisse de 1,5 °C chaque heure à partir de 4 °C donne 4 ; 2,5 ; 1 ; −0,5 ; −2… une suite de nombres rationnels qui passe zéro. Son terme général est 5,5 − 1,5 × n : n = 1 donne 4 et n = 5 donne 5,5 − 7,5 = −2. Un tableur fait ce travail pour toi : tu écris le premier terme dans une cellule et, dans celle du dessous, « celle du dessus plus 2,5 » (ou moins 1,5) ; tu tires vers le bas et il liste autant de termes que tu veux. Tu donnes la loi, la machine la répète, et tu vérifies les premiers termes à la main.
Teste ce que tu as appris
La suite 1,2 ; 0,7 ; 0,2 ; −0,3… suit une loi. Laquelle ?
- a) Ajouter 0,5 au terme précédent
- b) Retrancher 0,7 au terme précédent
- c) Retrancher 0,5 au terme précédent
- d) Multiplier le terme précédent par 0,5
Bonne réponse: c) Retrancher 0,5 au terme précédent — Exact : 1,2 − 0,5 = 0,7, 0,7 − 0,5 = 0,2, 0,2 − 0,5 = −0,3. Le même saut chaque fois, même après zéro.
Une suite commence par 2 ; 0,5 ; −1 ; −2,5… (chaque terme est 1,5 sous le précédent). Quel est le terme de rang 12 ?
- a) −14,5
- b) −16
- c) −18
- d) 16,5
Bonne réponse: a) −14,5 — Exact : du rang 1 au rang 12 il y a 11 sauts, donc 2 − 1,5 × 11 = 2 − 16,5 = −14,5.
Une suite commence par 1,5 ; 1 ; 0,5 ; 0… et la loi est de retrancher 0,5 à chaque fois. Quel est le terme de rang 7 ?
- a) 1,5
- b) −2
- c) Il n'existe pas : la suite s'arrête à 0
- d) −1,5
Bonne réponse: d) −1,5 — Exact : 1,5 − 0,5 × 6 = 1,5 − 3 = −1,5. La suite continue 0, −0,5, −1, −1,5 : le même saut des deux côtés de zéro.
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