Matemáticas 7.º curso: Sucesiones de números racionales y término general
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Con negativos, decimales y fracciones en la lista, la ley sigue naciendo del salto entre términos, y el término general da cualquier término directamente desde el orden.
La ley y el término general
Una sucesión de números racionales puede tener negativos, decimales y fracciones. En −7; −4,5; −2; 0,5… cada término es el anterior más 2,5: esa es la ley, dicha con palabras. La ley también puede dar un término desde el orden, y se llama término general. Del orden 1 al orden n hay n − 1 saltos de 2,5, así que el término es −7 + 2,5 × (n − 1), que se simplifica en 2,5 × n − 9,5. Pruébalo: n = 1 da −7 y n = 4 da 0,5. Una ley se dice con palabras o con símbolos, y solo vale si sirve para todos los términos que conoces.
Una sucesión, cuatro caras
La misma sucesión puede aparecer en un dibujo, una tabla, con palabras y en una fórmula, y todas deben contar la misma historia. Toma hexágonos (lado 1) unidos en fila: la figura n tiene n hexágonos y el perímetro es 6, 10, 14, 18… Palabras: cada hexágono nuevo añade 4. Dibujo: n hexágonos tienen 2n lados arriba, 2n abajo y 1 en cada extremo, o sea 4n + 2. Contando de otra manera: 6n lados menos 2 por cada una de las n − 1 uniones, o sea 6n − 2(n − 1). Para n = 5 las dos dan 22 (6 × 5 − 2 × 4 = 22 y 4 × 5 + 2 = 22). Fórmulas distintas, una sola sucesión.
Términos antes y muy después de los que se ven
Una tabla muestra solo los órdenes 4 a 7: 0,5; 3; 5,5; 8, y cada término está 2,5 por encima del anterior. El orden 1 queda 3 saltos atrás: 0,5 − 3 × 2,5 = 0,5 − 7,5 = −7. Así que el término general es −7 + 2,5 × (n − 1) = 2,5 × n − 9,5. Orden 20: 2,5 × 20 − 9,5 = 50 − 9,5 = 40,5. Compruébalo por saltos: −7 + 19 × 2,5 = −7 + 47,5 = 40,5, igual. Orden 100: 250 − 9,5 = 240,5. ¿Es 33 un término? De −7 a 33 se suben 40, y 40 ÷ 2,5 = 16 saltos exactos, así que 33 tiene orden 17. ¿Y 20? 27 ÷ 2,5 = 10,8, no es entero: no.
El cero no es el final
Sucesión 3/2; 1; 1/2; 0… y la ley es restar 1/2. Mucha gente se para en 0, o da la vuelta y escribe 1/2; 1; 3/2, como si los números rebotaran en el cero. Eso servía en años anteriores, cuando las sucesiones de números acababan en 0. Ahora hay números negativos, y la ley no cambia al pasar el cero: 0 − 1/2 = −1/2, luego −1, luego −3/2. El término general es (4 − n)/2: n = 1 da 3/2 y n = 7 da −3/2. El salto es el mismo a los dos lados del cero.
Temperaturas que bajan y hojas de cálculo
Una temperatura que baja 1,5 °C cada hora desde 4 °C da 4; 2,5; 1; −0,5; −2… una sucesión de números racionales que cruza el cero. Su término general es 5,5 − 1,5 × n: n = 1 da 4 y n = 5 da 5,5 − 7,5 = −2. Una hoja de cálculo hace este trabajo por ti: escribes el primer término en una celda y, en la de debajo, «la de arriba más 2,5» (o menos 1,5); arrastras hacia abajo y lista los términos que quieras. Tú pones la ley, la máquina la repite, y los primeros términos los compruebas tú a mano.
Pon a prueba lo que has aprendido
La sucesión 1,2; 0,7; 0,2; −0,3… sigue una ley. ¿Cuál?
- a) Sumar 0,5 al término anterior
- b) Restar 0,7 al término anterior
- c) Restar 0,5 al término anterior
- d) Multiplicar el término anterior por 0,5
Respuesta correcta: c) Restar 0,5 al término anterior — Correcto: 1,2 − 0,5 = 0,7, 0,7 − 0,5 = 0,2, 0,2 − 0,5 = −0,3. El mismo salto cada vez, incluso pasado el cero.
Una sucesión empieza 2; 0,5; −1; −2,5… (cada término está 1,5 por debajo del anterior). ¿Cuál es el término de orden 12?
- a) −14,5
- b) −16
- c) −18
- d) 16,5
Respuesta correcta: a) −14,5 — Correcto: del orden 1 al orden 12 hay 11 saltos, luego 2 − 1,5 × 11 = 2 − 16,5 = −14,5.
Una sucesión empieza 1,5; 1; 0,5; 0… y la ley es restar 0,5 cada vez. ¿Cuál es el término de orden 7?
- a) 1,5
- b) −2
- c) No existe: la sucesión acaba en 0
- d) −1,5
Respuesta correcta: d) −1,5 — Correcto: 1,5 − 0,5 × 6 = 1,5 − 3 = −1,5. La sucesión sigue 0, −0,5, −1, −1,5: el mismo salto a los dos lados del cero.
Sigue explorando
Otros idiomas
Cargando MyLeoNes™…