Matemática 7.º ano: Classificação hierárquica dos quadriláteros e como a explicar
Matemática, 7.º ano (Portugal): Trapézio, paralelogramo, retângulo, losango, quadrado e papagaio como famílias dentro de famílias, e como dizer porque é que uma figura pertence a cada uma.
Cada nome é um conjunto de propriedades
Trapézio: pelo menos um par de lados paralelos. Paralelogramo: dois pares. Retângulo: quatro ângulos retos. Losango: quatro lados iguais. Quadrado: quatro lados iguais e quatro ângulos retos. Papagaio: quadrilátero convexo com dois pares de lados consecutivos iguais. Uma figura que tenha as propriedades de um nome tem esse nome. Por isso o quadrado é retângulo e é losango; o retângulo e o losango são paralelogramos; o paralelogramo é trapézio; e o losango é papagaio. É uma hierarquia: famílias dentro de famílias.
Porque é que a hierarquia poupa trabalho
O que é verdade para uma família vale para todas as que estão dentro dela: as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio, logo as do retângulo, do losango e do quadrado também. Cada família mais pequena acrescenta uma propriedade: o retângulo acrescenta ao paralelogramo os ângulos retos, o losango os lados iguais, e o quadrado junta as duas. É por isso que o quadrado tem todas as propriedades das diagonais que viste: as do retângulo (iguais) e as do losango (perpendiculares).
Um caso: que nomes cabem, e como o dizer
Um quadrilátero tem quatro lados de 5 cm e ângulos, por ordem, de 60°, 120°, 60° e 120°. Confere: 60 + 120 + 60 + 120 = 360°, como tem de ser, porque (4 − 2) × 180° = 360°. Quatro lados iguais: losango. Todo o losango é também paralelogramo, trapézio e papagaio, por isso todos estes nomes servem. Não é retângulo nem quadrado: não tem ângulos retos. Para o dizer: «É um losango porque tem quatro lados de 5 cm; não é um quadrado porque os ângulos medem 60° e 120°, e não 90°.»
A armadilha: pensar que os nomes se excluem
O engano: «o quadrado não é retângulo, porque tem os lados todos iguais». Um retângulo só exige quatro ângulos retos; o quadrado tem-nos, logo é um retângulo especial. Um nome mais específico não anula o mais geral, tal como ser de Lisboa não impede de ser português. Cuidado com o trapézio: alguns livros exigem exatamente um par de lados paralelos, o que deixa o paralelogramo de fora. Aqui usamos «pelo menos um par», a definição que faz a hierarquia funcionar; confirma qual usa o teu manual.
Onde vês isto
Um ecrã, uma janela, uma folha de papel: retângulos. Um ladrilho quadrado é ao mesmo tempo quadrado, retângulo, losango e paralelogramo, e escolhes o nome que diz o que precisas. E explicar uma figura a um colega numa mensagem, sem a desenhar, obriga a usar propriedades: «quatro lados iguais e diagonais perpendiculares». Quanto mais claras as palavras, mais a figura que ele imagina se parece com a tua.
Testa o que aprendeste
Que cadeia vai do quadrilátero mais especial ao mais geral, sem falhas?
- a) quadrado → retângulo → paralelogramo → trapézio → quadrilátero
- b) quadrado → paralelogramo → retângulo → trapézio → quadrilátero
- c) quadrado → retângulo → papagaio → trapézio → quadrilátero
- d) quadrado → trapézio → paralelogramo → retângulo → quadrilátero
Resposta certa: a) quadrado → retângulo → paralelogramo → trapézio → quadrilátero — Certo: cada nome é um caso particular do seguinte. O quadrado tem quatro ângulos retos (retângulo), dois pares de lados paralelos (paralelogramo) e pelo menos um par (trapézio).
Um quadrilátero tem quatro lados de 5 cm e ângulos, por ordem, de 60°, 120°, 60° e 120°. Que nomes lhe cabem?
- a) Quadrado e retângulo, porque tem os lados todos iguais
- b) Só losango: não é paralelogramo nem trapézio
- c) Retângulo e paralelogramo, porque tem ângulos iguais dois a dois
- d) Losango, paralelogramo, trapézio e papagaio; não é retângulo nem quadrado
Resposta certa: d) Losango, paralelogramo, trapézio e papagaio; não é retângulo nem quadrado — Certo: quatro lados iguais dão um losango, e o losango é também paralelogramo, trapézio e papagaio. Não há ângulos retos, logo não é retângulo nem quadrado.
O Tomás diz: «O quadrado não é retângulo, porque tem os lados todos iguais.» Onde é que ele falha?
- a) Não falha: um retângulo tem de ter lados de comprimentos diferentes
- b) O quadrado é um trapézio, e é por isso que é retângulo
- c) Um retângulo só exige quatro ângulos retos, e o quadrado tem-nos: é um retângulo especial
- d) O quadrado é retângulo porque as suas diagonais são perpendiculares
Resposta certa: c) Um retângulo só exige quatro ângulos retos, e o quadrado tem-nos: é um retângulo especial — Certo: um nome mais específico (quadrado) não anula o mais geral (retângulo). Todo o quadrado é retângulo; nem todo o retângulo é quadrado.
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