Mathematik Klasse 7: Hierarchische Einteilung der Vierecke und wie man sie erklärt
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Trapez, Parallelogramm, Rechteck, Raute, Quadrat und Drachenviereck als Familien in Familien, und wie man begründet, warum eine Figur dazugehört.
Jeder Name ist eine Menge von Eigenschaften
Trapez: mindestens ein Paar paralleler Seiten. Parallelogramm: zwei Paare. Rechteck: vier rechte Winkel. Raute: vier gleich lange Seiten. Quadrat: vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Drachenviereck: konvexes Viereck mit zwei Paaren gleich langer Nachbarseiten. Eine Figur, die die Eigenschaften eines Namens hat, trägt diesen Namen. Also ist das Quadrat ein Rechteck und eine Raute; Rechteck und Raute sind Parallelogramme; das Parallelogramm ist ein Trapez; und die Raute ist ein Drachenviereck. Das ist eine Hierarchie: Familien in Familien.
Warum die Hierarchie Arbeit spart
Was für eine Familie gilt, gilt für alle Familien in ihr: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich, also auch die von Rechteck, Raute und Quadrat. Jede kleinere Familie fügt eine Eigenschaft hinzu: Das Rechteck fügt dem Parallelogramm rechte Winkel hinzu, die Raute gleich lange Seiten, das Quadrat beides. Darum hat das Quadrat alle Diagonaleneigenschaften, die du kennst: die des Rechtecks (gleich lang) und die der Raute (senkrecht).
Ein Beispiel: welche Namen passen und wie man es sagt
Ein Viereck hat vier Seiten von 5 cm und der Reihe nach Winkel von 60°, 120°, 60° und 120°. Probe: 60 + 120 + 60 + 120 = 360°, wie es sein muss, denn (4 − 2) × 180° = 360°. Vier gleich lange Seiten: eine Raute. Jede Raute ist auch Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck, also passen alle diese Namen. Ein Rechteck oder Quadrat ist es nicht: keine rechten Winkel. So sagst du es: „Es ist eine Raute, weil es vier Seiten von 5 cm hat; es ist kein Quadrat, weil die Winkel 60° und 120° messen und nicht 90°.“
Die Falle: zu denken, die Namen schlössen sich aus
Der Ausrutscher: „Ein Quadrat ist kein Rechteck, weil alle Seiten gleich lang sind.“ Ein Rechteck verlangt nur vier rechte Winkel; das Quadrat hat sie, also ist es ein besonderes Rechteck. Ein genauerer Name hebt den allgemeineren nicht auf, so wie man als Lissabonner trotzdem Portugiese ist. Vorsicht beim Trapez: Manche Bücher verlangen genau ein Paar paralleler Seiten, dann fällt das Parallelogramm heraus. Hier gilt „mindestens ein Paar“, die Definition, mit der die Hierarchie funktioniert; prüfe, welche dein Buch verwendet.
Wo du das siehst
Ein Bildschirm, ein Fenster, ein Blatt Papier: Rechtecke. Eine quadratische Fliese ist zugleich Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm, und du wählst den Namen, der sagt, was du brauchst. Und wenn du einer Freundin eine Form in einer Nachricht ohne Zeichnung erklärst, musst du Eigenschaften benutzen: „vier gleich lange Seiten und senkrechte Diagonalen“. Je klarer deine Worte, desto näher kommt ihre Vorstellung deiner Figur.
Teste, was du gelernt hast
Welche Kette geht vom besonderen zum allgemeinen Viereck, ohne Fehler?
- a) Quadrat → Rechteck → Parallelogramm → Trapez → Viereck
- b) Quadrat → Parallelogramm → Rechteck → Trapez → Viereck
- c) Quadrat → Rechteck → Drachenviereck → Trapez → Viereck
- d) Quadrat → Trapez → Parallelogramm → Rechteck → Viereck
Richtige Antwort: a) Quadrat → Rechteck → Parallelogramm → Trapez → Viereck — Richtig: Jeder Name ist ein Sonderfall des nächsten. Das Quadrat hat vier rechte Winkel (Rechteck), zwei Paare paralleler Seiten (Parallelogramm) und mindestens ein Paar (Trapez).
Ein Viereck hat vier Seiten von 5 cm und der Reihe nach Winkel von 60°, 120°, 60° und 120°. Welche Namen passen?
- a) Quadrat und Rechteck, weil alle Seiten gleich lang sind
- b) Nur Raute: Es ist weder Parallelogramm noch Trapez
- c) Rechteck und Parallelogramm, weil gegenüberliegende Winkel gleich sind
- d) Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck; kein Rechteck und kein Quadrat
Richtige Antwort: d) Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck; kein Rechteck und kein Quadrat — Richtig: Vier gleich lange Seiten ergeben eine Raute, die auch Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck ist. Keine rechten Winkel, also weder Rechteck noch Quadrat.
Tomás sagt: „Ein Quadrat ist kein Rechteck, weil alle Seiten gleich lang sind.“ Wo irrt er?
- a) Er irrt nicht: Ein Rechteck muss verschieden lange Seiten haben
- b) Das Quadrat ist ein Trapez, und deshalb ist es ein Rechteck
- c) Ein Rechteck verlangt nur vier rechte Winkel, und das Quadrat hat sie: Es ist ein besonderes Rechteck
- d) Das Quadrat ist ein Rechteck, weil seine Diagonalen senkrecht stehen
Richtige Antwort: c) Ein Rechteck verlangt nur vier rechte Winkel, und das Quadrat hat sie: Es ist ein besonderes Rechteck — Richtig: Ein genauerer Name (Quadrat) hebt einen allgemeineren (Rechteck) nicht auf. Jedes Quadrat ist ein Rechteck; nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
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