Mathématiques 7e année : Classification hiérarchique des quadrilatères et comment l'expliquer
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Trapèze, parallélogramme, rectangle, losange, carré et cerf-volant comme des familles dans des familles, et comment dire pourquoi une figure en fait partie.
Chaque nom est un ensemble de propriétés
Trapèze : au moins une paire de côtés parallèles. Parallélogramme : deux paires. Rectangle : quatre angles droits. Losange : quatre côtés égaux. Carré : quatre côtés égaux et quatre angles droits. Cerf-volant : quadrilatère convexe avec deux paires de côtés consécutifs égaux. Une figure qui a les propriétés d'un nom porte ce nom. Ainsi le carré est un rectangle et un losange ; le rectangle et le losange sont des parallélogrammes ; le parallélogramme est un trapèze ; et le losange est un cerf-volant. C'est une hiérarchie : des familles dans des familles.
Pourquoi la hiérarchie fait gagner du temps
Ce qui est vrai pour une famille vaut pour toutes celles qu'elle contient : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc celles du rectangle, du losange et du carré aussi. Chaque famille plus petite ajoute une propriété : le rectangle ajoute au parallélogramme les angles droits, le losange les côtés égaux, et le carré réunit les deux. C'est pourquoi le carré a toutes les propriétés de diagonales que tu as vues : celles du rectangle (égales) et celles du losange (perpendiculaires).
Un cas : quels noms conviennent, et comment le dire
Un quadrilatère a quatre côtés de 5 cm et des angles, dans l'ordre, de 60°, 120°, 60° et 120°. Vérifie : 60 + 120 + 60 + 120 = 360°, comme il se doit, car (4 − 2) × 180° = 360°. Quatre côtés égaux : un losange. Tout losange est aussi un parallélogramme, un trapèze et un cerf-volant : tous ces noms conviennent. Ce n'est ni un rectangle ni un carré : pas d'angles droits. Pour le dire : « C'est un losange car il a quatre côtés de 5 cm ; ce n'est pas un carré car ses angles mesurent 60° et 120°, et non 90°. »
Le piège : croire que les noms s'excluent
L'erreur : « le carré n'est pas un rectangle, parce que tous ses côtés sont égaux ». Un rectangle exige seulement quatre angles droits ; le carré les a, c'est donc un rectangle particulier. Un nom plus précis n'annule pas le nom général, comme être de Lisbonne n'empêche pas d'être portugais. Attention au trapèze : certains livres exigent exactement une paire de côtés parallèles, ce qui exclut le parallélogramme. Ici, on emploie « au moins une paire », la définition qui fait fonctionner la hiérarchie ; vérifie celle de ton manuel.
Où tu vois cela
Un écran, une fenêtre, une feuille de papier : des rectangles. Un carreau carré est à la fois un carré, un rectangle, un losange et un parallélogramme, et tu choisis le nom qui dit ce qu'il te faut. Et expliquer une forme à un ami dans un message, sans la dessiner, oblige à utiliser des propriétés : « quatre côtés égaux et diagonales perpendiculaires ». Plus tes mots sont clairs, plus la figure qu'il imagine ressemble à la tienne.
Teste ce que tu as appris
Quelle chaîne va du quadrilatère le plus particulier au plus général, sans erreur ?
- a) carré → rectangle → parallélogramme → trapèze → quadrilatère
- b) carré → parallélogramme → rectangle → trapèze → quadrilatère
- c) carré → rectangle → cerf-volant → trapèze → quadrilatère
- d) carré → trapèze → parallélogramme → rectangle → quadrilatère
Bonne réponse: a) carré → rectangle → parallélogramme → trapèze → quadrilatère — Exact : chaque nom est un cas particulier du suivant. Le carré a quatre angles droits (rectangle), deux paires de côtés parallèles (parallélogramme) et au moins une paire (trapèze).
Un quadrilatère a quatre côtés de 5 cm et des angles, dans l'ordre, de 60°, 120°, 60° et 120°. Quels noms lui conviennent ?
- a) Carré et rectangle, parce que tous ses côtés sont égaux
- b) Seulement losange : ce n'est ni un parallélogramme ni un trapèze
- c) Rectangle et parallélogramme, parce que les angles opposés sont égaux
- d) Losange, parallélogramme, trapèze et cerf-volant ; ni rectangle ni carré
Bonne réponse: d) Losange, parallélogramme, trapèze et cerf-volant ; ni rectangle ni carré — Exact : quatre côtés égaux donnent un losange, qui est aussi parallélogramme, trapèze et cerf-volant. Pas d'angles droits : ni rectangle ni carré.
Tomás dit : « Le carré n'est pas un rectangle, parce que tous ses côtés sont égaux. » Où se trompe-t-il ?
- a) Il ne se trompe pas : un rectangle doit avoir des côtés de longueurs différentes
- b) Le carré est un trapèze, et c'est pour cela qu'il est un rectangle
- c) Un rectangle exige seulement quatre angles droits, et le carré les a : c'est un rectangle particulier
- d) Le carré est un rectangle parce que ses diagonales sont perpendiculaires
Bonne réponse: c) Un rectangle exige seulement quatre angles droits, et le carré les a : c'est un rectangle particulier — Exact : un nom plus précis (carré) n'annule pas un nom plus général (rectangle). Tout carré est un rectangle ; tout rectangle n'est pas un carré.
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