Decomposição em fatores primos: cada número em tijolos primos — 11–13
Parte um número em fatores primos, com uma árvore ou por divisões sucessivas, e descobre porque só há uma maneira de o fazer.
Escrever um número como produto de primos
Todo o número natural maior que 1 ou é primo ou pode escrever-se como produto de primos. Por exemplo, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Chama-se decomposição em fatores primos: vais partindo o número em fatores até todos serem primos, e juntas os iguais numa potência. A ordem dos fatores não conta (5 × 3 × 2 × 2 é o mesmo produto), e cada número só tem uma decomposição.
Porque é que a decomposição é sempre a mesma
Os primos são os tijolos dos números naturais: já não se partem mais. Parte o 60 de maneiras diferentes: 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5); 4 × 15 = (2 × 2) × (3 × 5); 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. Os caminhos são diferentes, mas todos acabam nos mesmos primos: dois 2, um 3 e um 5. Por isso se diz que a decomposição é única: é como o cartão de cidadão do número. Nenhum outro número é feito de 2² × 3 × 5.
Decompor o 72 com uma árvore e com divisões
Árvore: 72 = 8 × 9; depois 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 e 9 = 3 × 3. Divisões sucessivas, sempre pelo menor primo que der: 72 ÷ 2 = 36; 36 ÷ 2 = 18; 18 ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. Os divisores usados foram 2, 2, 2, 3, 3. Pelos dois caminhos, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3². Confirma: 8 × 9 = 72.
A armadilha: parar cedo de mais
Deslize razoável: escrever 72 = 8 × 9, ou 72 = 2 × 2 × 2 × 9, e achar que já está. São produtos, mas o 8 e o 9 não são primos (8 = 2 × 2 × 2 e 9 = 3 × 3). Testa cada fator: um primo só tem dois divisores. Outro deslize é pensar que 2 × 2 × 2 × 3 × 3 e 3 × 2 × 3 × 2 × 2 são duas decomposições diferentes: só mudou a ordem. E não escrevas o 1 como fator: não é primo, e multiplicar por 1 não muda nada.
Onde vês isto fora da escola: guardar dados em segurança
Multiplicar dois primos é fácil: 89 × 97 = 8633. Mas, só com o 8633 na mão, descobrir que dois primos o formaram dá muitos testes de divisores. Com primos de centenas de algarismos, os computadores de hoje não o conseguem em tempo útil, e parte da proteção de mensagens e pagamentos online assenta nisso. E, como a decomposição é única, há exatamente uma resposta certa para encontrar.
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