Décomposition en facteurs premiers : chaque nombre en… — 11–13
Décompose un nombre en facteurs premiers, avec un arbre ou par divisions successives, et découvre pourquoi il n'y a qu'une seule façon de le faire.
Écrire un nombre comme produit de nombres premiers
Tout entier naturel supérieur à 1 est soit premier, soit un produit de nombres premiers. Par exemple, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. C'est la décomposition en facteurs premiers : tu casses le nombre en facteurs jusqu'à ce que tous soient premiers, puis tu regroupes les facteurs égaux en une puissance. L'ordre des facteurs ne compte pas (5 × 3 × 2 × 2 est le même produit), et chaque nombre n'a qu'une seule décomposition.
Pourquoi la décomposition est toujours la même
Les nombres premiers sont les briques des entiers naturels : on ne peut plus les casser. Casse 60 de plusieurs façons : 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) ; 4 × 15 = (2 × 2) × (3 × 5) ; 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. Les chemins diffèrent, mais tous finissent avec les mêmes nombres premiers : deux 2, un 3 et un 5. C'est pourquoi on dit que la décomposition est unique : c'est la carte d'identité du nombre. Aucun autre nombre n'est fait de 2² × 3 × 5.
Décomposer 72 avec un arbre et avec des divisions
Arbre : 72 = 8 × 9 ; puis 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 et 9 = 3 × 3. Divisions successives, toujours par le plus petit nombre premier possible : 72 ÷ 2 = 36 ; 36 ÷ 2 = 18 ; 18 ÷ 2 = 9 ; 9 ÷ 3 = 3 ; 3 ÷ 3 = 1. Les diviseurs utilisés sont 2, 2, 2, 3, 3. Par les deux chemins, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3². Vérifie : 8 × 9 = 72.
Le piège : s'arrêter trop tôt
Une erreur raisonnable : écrire 72 = 8 × 9, ou 72 = 2 × 2 × 2 × 9, et croire que c'est fini. Ce sont des produits, mais 8 et 9 ne sont pas premiers (8 = 2 × 2 × 2 et 9 = 3 × 3). Teste chaque facteur : un nombre premier n'a que deux diviseurs. Autre erreur : croire que 2 × 2 × 2 × 3 × 3 et 3 × 2 × 3 × 2 × 2 sont deux décompositions différentes : seul l'ordre a changé. Et n'écris pas 1 comme facteur : il n'est pas premier, et multiplier par 1 ne change rien.
Où tu le vois en dehors de l'école : protéger des données
Multiplier deux nombres premiers est facile : 89 × 97 = 8633. Mais avec seulement 8633 en main, trouver quels deux nombres premiers l'ont formé demande beaucoup de tests de diviseurs. Avec des nombres premiers de centaines de chiffres, les ordinateurs d'aujourd'hui n'y arrivent pas en un temps utile, et une partie de la protection des messages et des paiements en ligne repose là-dessus. Et comme la décomposition est unique, il y a exactement une bonne réponse à trouver.
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