Scomposizione in fattori primi: ogni numero in mattoncini… — 11–13
Scomponi un numero in fattori primi, con un albero o per divisioni successive, e scopri perché c'è un solo modo di farlo.
Scrivere un numero come prodotto di primi
Ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o si scrive come prodotto di primi. Per esempio, 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Si chiama scomposizione in fattori primi: spezzi il numero in fattori finché tutti sono primi, e riunisci quelli uguali in una potenza. L'ordine dei fattori non conta (5 × 3 × 2 × 2 è lo stesso prodotto), e ogni numero ha una sola scomposizione.
Perché la scomposizione è sempre la stessa
I primi sono i mattoncini dei numeri naturali: non si spezzano più. Spezza il 60 in modi diversi: 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5); 4 × 15 = (2 × 2) × (3 × 5); 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. I percorsi sono diversi, ma tutti finiscono negli stessi primi: due 2, un 3 e un 5. Per questo si dice che la scomposizione è unica: è come la carta d'identità del numero. Nessun altro numero è fatto di 2² × 3 × 5.
Scomporre il 72 con un albero e con le divisioni
Albero: 72 = 8 × 9; poi 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 e 9 = 3 × 3. Divisioni successive, sempre per il più piccolo primo possibile: 72 ÷ 2 = 36; 36 ÷ 2 = 18; 18 ÷ 2 = 9; 9 ÷ 3 = 3; 3 ÷ 3 = 1. I divisori usati sono 2, 2, 2, 3, 3. Per entrambe le strade, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3². Verifica: 8 × 9 = 72.
La trappola: fermarsi troppo presto
Un errore ragionevole: scrivere 72 = 8 × 9, o 72 = 2 × 2 × 2 × 9, e pensare di aver finito. Sono prodotti, ma 8 e 9 non sono primi (8 = 2 × 2 × 2 e 9 = 3 × 3). Controlla ogni fattore: un primo ha solo due divisori. Un altro errore è credere che 2 × 2 × 2 × 3 × 3 e 3 × 2 × 3 × 2 × 2 siano due scomposizioni diverse: è cambiato solo l'ordine. E non scrivere l'1 come fattore: non è primo, e moltiplicare per 1 non cambia nulla.
Dove lo vedi fuori dalla scuola: proteggere i dati
Moltiplicare due primi è facile: 89 × 97 = 8633. Ma con in mano solo 8633, scoprire quali due primi lo hanno formato richiede molte prove di divisori. Con primi di centinaia di cifre, i computer di oggi non ci riescono in tempi utili, e parte della protezione di messaggi e pagamenti online si basa su questo. E poiché la scomposizione è unica, c'è esattamente una risposta giusta da trovare.
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