Primfaktorzerlegung: jede Zahl aus Primzahl-Bausteinen — 11–13
Zerlege eine Zahl in Primfaktoren, mit einem Faktorbaum oder durch fortgesetztes Teilen, und finde heraus, warum es nur einen Weg gibt.
Eine Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben
Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder prim oder lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Zum Beispiel 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5. Das nennt man Primfaktorzerlegung: Du zerlegst die Zahl in Faktoren, bis alle Faktoren prim sind, und fasst gleiche Faktoren zu einer Potenz zusammen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle (5 · 3 · 2 · 2 ist dasselbe Produkt), und jede Zahl hat nur eine Zerlegung.
Warum die Zerlegung immer dieselbe ist
Primzahlen sind die Bausteine der natürlichen Zahlen: Man kann sie nicht weiter zerlegen. Zerlege 60 auf verschiedene Weisen: 6 · 10 = (2 · 3) · (2 · 5); 4 · 15 = (2 · 2) · (3 · 5); 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5. Die Wege sind verschieden, doch alle enden bei denselben Primzahlen: zwei Zweien, einer 3 und einer 5. Deshalb sagt man, die Zerlegung ist eindeutig: Sie ist wie der Personalausweis der Zahl. Keine andere Zahl besteht aus 2² · 3 · 5.
72 zerlegen: mit Faktorbaum und mit Divisionen
Faktorbaum: 72 = 8 · 9; dann 8 = 2 · 4 = 2 · 2 · 2 und 9 = 3 · 3. Fortgesetztes Teilen, immer durch die kleinste passende Primzahl: 72 : 2 = 36; 36 : 2 = 18; 18 : 2 = 9; 9 : 3 = 3; 3 : 3 = 1. Die benutzten Teiler waren 2, 2, 2, 3, 3. Auf beiden Wegen gilt 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2³ · 3². Probe: 8 · 9 = 72.
Die Falle: zu früh aufhören
Ein nachvollziehbarer Fehler: 72 = 8 · 9 oder 72 = 2 · 2 · 2 · 9 zu schreiben und zu glauben, man sei fertig. Das sind Produkte, aber 8 und 9 sind nicht prim (8 = 2 · 2 · 2 und 9 = 3 · 3). Prüfe jeden Faktor: Eine Primzahl hat nur zwei Teiler. Ein weiterer Fehler: zu meinen, 2 · 2 · 2 · 3 · 3 und 3 · 2 · 3 · 2 · 2 seien zwei verschiedene Zerlegungen – nur die Reihenfolge ist anders. Und schreibe keine 1 als Faktor: Sie ist nicht prim, und Malnehmen mit 1 ändert nichts.
Wo du das außerhalb der Schule siehst: Daten schützen
Zwei Primzahlen zu multiplizieren ist leicht: 89 · 97 = 8633. Hat man aber nur die 8633, muss man viele Teiler ausprobieren, um die beiden Primzahlen zu finden. Bei Primzahlen mit Hunderten von Stellen schaffen heutige Computer das nicht in brauchbarer Zeit, und ein Teil des Schutzes von Nachrichten und Zahlungen im Netz beruht darauf. Und weil die Zerlegung eindeutig ist, gibt es genau eine richtige Antwort zu finden.
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